Иррациональные энергетические уровни

[warlock66613]

Sicker в сообщении #1346903 писал(а):

Оно самое

Отлично. Но ваше первоначальное сообщение в теме всё равно не парсится. Да, применяя микроканоническое распределение к системе невзаимодействующих частиц, можно получить распределение частиц по уровням. Нет, иррациональность не помеха. Да, можно рассматривать разные варианты микроканонического распределения - когда энергия задана точно и когда задан некоторый интервал энергий (этот вариант, например, может быть использован для моделирования реальной системы, которая находится не в стационарном состоянии, но в суперпозиции состояний с энергиями в заданном интервале). И то, и другое называется микроканоническим распределением, но это разные распределения. Почему вы пишете "у нас распределение не будет подчиняться Гиббсу" непонятно.

[Sicker]

madschumacher в сообщении #1346932 писал(а):

В случае микроканонического распределения Гиббса плотность вероятности распределения по энергии задана как
$\omega(E') = \delta(E-E')$, где $E=\sum_i n_i E_i$ -- энергия системы для избранного распределения частиц по уровням. Поскольку у нас задано макросостояние, то коэффициенты $\{n_i\}_i$ у нас фиксированы.

Я не очень понимаю эту запись, у нас что, все в одной точке? Там же по экспоненте будет.

madschumacher в сообщении #1346932 писал(а):

Больцмановское определение энтропии появилось первым.

И что?

Цитата:

Поэтому, имхо, смешивать то, что было придумано для описания передачи сигналов (информационная энтропия) на основе больцмановского распределения с самим больцмановским распределением (т.е. штукой, описывающей конкретную часть реальности, а именно равновесные термодинамические системы) -- это какое-то кощунство.

А в той статье в частности говорится, что информационную энтропию несмотря на то что она появилась вторично на основе статистических распределений можно сделать первичной сущностью для определения всех распределений, вот так вот
Вот например выдержка -

Цитата:

Хотя изначально теория информации создавалась с помощью некоторых понятий статистической физики, в настоящее время, следуя Джейнсу, можно принять информационный подход за основу при построении статистической физики. При этом формализм статистической механики, согласно [1], оказывается некой последовательностью действий, следуя которой, мы имеем возможность получить наилучшую, объективную оценку при наличии существенной ограниченности наших знаний о микромире (это статистическая методика предупреждения возможных ошибок).

-- 17.10.2018, 10:31 --

warlock66613 в сообщении #1346937 писал(а):

Почему вы пишете "у нас распределение не будет подчиняться Гиббсу" непонятно.

Потому что энергия алгебраически определяет распределение частиц по уровням. Распределение Гиббса просто нельзя туда втиснуть, т.к. получается переопределенная система.

[warlock66613]

Sicker в сообщении #1346944 писал(а):

Там же по экспоненте будет.

Вы определённо путаете микроканоническое распределение с каноническим.

-- 17.10.2018, 11:34 --

Sicker в сообщении #1346944 писал(а):

Распределение Гиббса просто нельзя туда втиснуть, т.к. получается переопределенная система.

И вновь: вы говорите о каноническом рапределении или о микроканоническом?

-- 17.10.2018, 11:46 --

И почему бы вам не почитать нормальный учебник статфизики (то есть "Статистическую термодинамику" Киттеля) вместо мутных статей?

[Sicker]

warlock66613 в сообщении #1346947 писал(а):

Вы определённо путаете микроканоническое распределение с каноническим.

Значит каноническая. Ведь там экспонента? Фиксируем общую энергию.

-- 17.10.2018, 11:19 --

warlock66613 в сообщении #1346947 писал(а):

И вновь: вы говорите о каноническом рапределении или о микроканоническом?

Тут можно любое выбрать.

[warlock66613]

Sicker в сообщении #1346957 писал(а):

Значит каноническая. Ведь там экспонента? Фиксируем общую энергию.

Каноническое (распределение). Общую энергию чего? Если общую энергию частиц, так каноническое распределение - это не распределение при фиксированной энергии, а распределение при фиксированной температуре.

Sicker в сообщении #1346957 писал(а):

Тут можно любое выбрать.

Давайте выберем каноническое.

madschumacher в сообщении #1346932 писал(а):

Хорошо, вот допустим у нас есть Ваша система "иррациональных энергетических уровней" $\{E_0, E_1, E_2, \ldots \}$.
В случае канонического распределения Гиббса (т.е. когда у нас есть внешняя система, обменивающаяся с рассматриваемой системой энергией) же вероятность найти частицу в состоянии $i$ с энергией $E_i$ -- это
$\omega_i \propto \exp\left(-\frac{E_i}{kT} \right)$.
Это распределение получается при помощи принципа максимальной энтропии, и при этом нигде там не накладывается условий на вид энергетического спектра $\{E_0, E_1, E_2, \ldots \}$, а значит это распределение справедливо в т.ч. и для "иррациональных энергетических уровней".
<...>
И где здесь "иррациональные уровни" помеха существованию этого распределения?

-- 17.10.2018, 13:27 --

А ещё я уже сам начинаю путаться между каноническими рапределениями и распределениями (невзаимодействующих) частиц по уровням. В общем, хотелось бы от ТС увидеть какие-то внятные рассуждения с формулами. Какую систему рассматриваем, распределение чего ищем, какие макроусловия накладываем, какое распределение получаем (или не получаем) и т. д.

[madschumacher]

Sicker в сообщении #1346944 писал(а):

Я не очень понимаю эту запись, у нас что, все в одной точке?

Вы про ансамбли хоть что-то знаете вообще?!

Sicker в сообщении #1346944 писал(а):

Там же по экспоненте будет.

Нет! Микроканонический ансамбль -- это модель изолированной системы. Экспоненты в каноническом (закрытой системе) и большом каноническом (открытой системе) случаях, и берётся она из присутствия внешней среды, которая может "перемешивать" состояния в системе.

Sicker в сообщении #1346944 писал(а):

А в той статье в частности говорится, что информационную энтропию несмотря на то что она появилась вторично на основе статистических распределений можно сделать первичной сущностью для определения всех распределений, вот так вот

Я эту статью только мельком просмотрел, но за некоторые утверждения взгляд у меня зацепился (с последующим моим выражением ).
В целом, учитывая, что журнал по своему уровню -- Вестник Пензенского Инженерно-Заборостроительно-Древообрабатывающего Университета мурзилка, аффтары специалисты не в этой теме, я бы не стал на эту статью ориентироваться.
+ стоит отметить, что в стат.термодинамике у физических систем существует версия энтропии, выраженная через матрицы плотности, которые, как я понимаю, информационная энтропия не покрывает от слова совсем (в диагонализованном варианте матрицы плотности -- да, но в произвольном -- нет).
Disclaimer: могу ошибаться.

Sicker в сообщении #1346944 писал(а):

Потому что энергия алгебраически определяет распределение частиц по уровням. Распределение Гиббса просто нельзя туда втиснуть, т.к. получается переопределенная система.

Да, и что. Где сама претензия то? Где предпосылки? Почему? И что вообще это значит?!

Sicker в сообщении #1346957 писал(а):

Значит каноническая. Ведь там экспонента? Фиксируем общую энергию.

Первод Вашей фразы на человеческий:
Значит каноническая = закрытая система (т.е. есть обмен энергией с термостатом). Ведь там экспонента (комм. перев.: да)? Фиксируем общую энергию (комм. перев.: чтооооооо? идите обратно к изолированной системе, без обмена энергией, где энергия системы фиксирована!!!!!!!!!!!!!).

Sicker в сообщении #1346957 писал(а):

Тут можно любое выбрать.

Нет! Они имеют разный физический и математический смысл, и разные предпосылки! Да у них даже формулы разные!!!!

[Sicker]

warlock66613 в сообщении #1346979 писал(а):

Каноническое (распределение). Общую энергию чего? Если общую энергию частиц, так каноническое распределение - это не распределение при фиксированной энергии, а распределение при фиксированной температуре.

Ну пусть у нас между частицами взаимодействие будет.

madschumacher в сообщении #1347014 писал(а):

:facepalm: Вы про ансамбли хоть что-то знаете вообще?!

Конечно

madschumacher в сообщении #1347014 писал(а):

Нет! Микроканонический ансамбль -- это модель изолированной системы. Экспоненты в каноническом (закрытой системе) и большом каноническом (открытой системе) случаях, и берётся она из присутствия внешней среды, которая может "перемешивать" состояния в системе.

А как внешняя среда может перемешивать состояния в закрытой системе? Хорошо, а пусть у нас будет закрытая система с взаимодействием между частицами. Как например газ в непроницаемых стенках.

madschumacher в сообщении #1347014 писал(а):

+ стоит отметить, что в стат.термодинамике у физических систем существует версия энтропии, выраженная через матрицы плотности, которые, как я понимаю, информационная энтропия не покрывает от слова совсем (в диагонализованном варианте матрицы плотности -- да, но в произвольном -- нет).
Disclaimer: могу ошибаться.

Есть квантовая информационная энтропия

madschumacher в сообщении #1347014 писал(а):

Да, и что. Где сама претензия то? Где предпосылки? Почему? И что вообще это значит?!

Никаких предпосылок, просто модельная задача

madschumacher в сообщении #1347014 писал(а):

Значит каноническая = закрытая система (т.е. есть обмен энергией с термостатом). Ведь там экспонента (комм. перев.: да)? Фиксируем общую энергию (комм. перев.: чтооооооо? идите обратно к изолированной системе, без обмена энергией, где энергия системы фиксирована!!!!!!!!!!!!!).

Ой я спутал изолированную систему с закрытой Пусть будет изолированная с внутренним взаимодействием, которое перемешивает состояния в системе.

[Gickle]

madschumacher в сообщении #1347014 писал(а):

стоит отметить, что в стат.термодинамике у физических систем существует версия энтропии, выраженная через матрицы плотности, которые, как я понимаю, информационная энтропия не покрывает от слова совсем (в диагонализованном варианте матрицы плотности -- да, но в произвольном -- нет)

Не очень понятно, что здесь имеется в виду. Поскольку матрица плотности эрмитова, она всегда может быть приведена к диагональному виду

$$\rho = \sum_k \lambda_k |\varphi_k \rangle \langle \varphi_k|,$$

где $|\varphi_k\rangle$ и $\lambda_k$ -- собственные векторы и собственные значения $\rho$ соответственно. Из эрмитовости и условия нормировки следует

$$\langle \varphi_k | \varphi_j \rangle = \delta_{kj} \quad \text{и} \quad \sum_k \lambda_k = 1.$$

Энтропия фон Ноймана тогда может быть легко выражена через $\lambda_k$

$$S_{\mathrm{vN}} = -\operatorname{Tr} \left(\rho \log \rho\right) = -\sum_k \lambda_k \log \lambda_k,$$

что аналогично выражению для энтропии Шеннона:

$$S_{S} = -\sum_k p_k \log p_k,$$

где $\sum_k p_k = 1.$

[madschumacher]

Sicker в сообщении #1347047 писал(а):

Ну пусть у нас между частицами взаимодействие будет.

При чём тут взаимодействия внутри системы?! Конкретно при выводе распределения Гиббса по методу ячеек Больцмана используются (фактически) факторизованные уровни энергии. Т.е. это просто уровни, на которых могут существовать частицы в подсистеме. По-сути, когда мы говорим о том, что частицы сидят на своих уровнях, то работаем с идеальным газом. Если взаимодействия между частицами становятся не пренебрежимыми (например, в жидкости), то тут уже такая простая мысль об уровнях частиц является неправильным. Так что Вы определитесь уж с моделью.

Sicker в сообщении #1347047 писал(а):

Конечно

Первое правило анамблей -- не говорить об ансамблях правильных вещей?

Sicker в сообщении #1347047 писал(а):

А как внешняя среда может перемешивать состояния в закрытой системе?

Допустим, у Вас среда отделена от системы непроницаемой стенкой. Представьте: частица среды с большой силой врезается в стенку, стенка деформируется, прогибается, и толкает другую частицу, с другой стороны. Энергия от частицы среды перешла в энергию частицы системы. Ура!
Ну и раз пошла такая пьянка: ответьте -- что такое состояние системы (микросостояние и макросостояние)? А то без чёткого определения дальнейший разговор всё больше и больше кажется бесполезным.

Sicker в сообщении #1347047 писал(а):

Есть квантовая информационная энтропия

Если навесить на физическое определение название "информационная", то оно не становится автоматически информативным. Пока оно не применяется к описанию, скажем, квантовых каналов связи, оно является просто физическим. Не надо пожалуйста перетягивать одеяло и менять местами курицу и яйцо.

Sicker в сообщении #1347047 писал(а):

Никаких предпосылок, просто модельная задача

Ну Вы ни модель, ни задачу не описали!

Sicker в сообщении #1347047 писал(а):

Пусть будет изолированная с внутренним взаимодействием, которое перемешивает состояния в системе.

Если оно всё ещё перемешивает состояния, то это неравновесная система и ансамбли Гиббса её не описывают.

Gickle в сообщении #1347049 писал(а):

Поскольку матрица плотности эрмитова, она всегда может быть приведена к диагональному виду

Это и имеется в виду. Если говорить о диагональной матрице плотности, то Шенноновское определение очевидно восстанавливается. А вот если взять недиагональный, то могут быть, скажем, комплексные и/или отрицательные недиагональные элементы $\rho$, которые нужно учитывать как при вычислении $\ln(\rho)$, так и при умножении $\rho \ln(\rho)$. Увидеть в таком случае с первого взгляда Шенноновское определение для неотрицательных вероятностей крайне проблематично.

Спасибо, что расписали это.

[Eule_A]

madschumacher
Будьте спокойнее, пожалуйста.

Sicker
Есть предложение, от которого отказаться Вы теперь уже не можете. Делая какие-либо утверждения, сопровождайте их не упоминаниями "какой-то экспоненты" и т.п., а формулами. До сих пор Вы не написали ни одной. Вместо этого Вы демонстрируете, что путаетесь в терминологии и плохо разбираетесь в тех понятиях, которыми пытаетесь оперировать. Поэтому, чтобы разговор стал хоть сколько-то осмысленным предлагается:
1. чётко написать, что Вы понимаете под микроканоническим и каноническим распределением, а заодно - по просьбам трудящихся - под состоянием системы;
2. ответить столь же чётко на вопросы

warlock66613 в сообщении #1346979 писал(а):

Какую систему рассматриваем, распределение чего ищем, какие макроусловия накладываем, какое распределение получаем (или не получаем) и т. д.

3.

Sicker в сообщении #1346944 писал(а):

Потому что энергия алгебраически определяет распределение частиц по уровням. Распределение Гиббса просто нельзя туда втиснуть, т.к. получается переопределенная система.

Вот эти слова, например, превратить в оформленные рассуждения, понятные не только автору.

В заключение хотел бы напомнить, что смайлы (пока что) не являются ни аргументом в рассуждениях, ни контраргументом в ответе на рассуждения. А то читаешь тему - и не понимаешь, куда попал.

[Sicker]

madschumacher в сообщении #1347052 писал(а):

При чём тут взаимодействия внутри системы?! Конкретно при выводе распределения Гиббса по методу ячеек Больцмана используются (фактически) факторизованные уровни энергии. Т.е. это просто уровни, на которых могут существовать частицы в подсистеме. По-сути, когда мы говорим о том, что частицы сидят на своих уровнях, то работаем с идеальным газом. Если взаимодействия между частицами становятся не пренебрежимыми (например, в жидкости), то тут уже такая простая мысль об уровнях частиц является неправильным. Так что Вы определитесь уж с моделью.

А если взаимодействия простые как столкновения частиц в газе?

madschumacher в сообщении #1347052 писал(а):

Допустим, у Вас среда отделена от системы непроницаемой стенкой. Представьте: частица среды с большой силой врезается в стенку, стенка деформируется, прогибается, и толкает другую частицу, с другой стороны. Энергия от частицы среды перешла в энергию частицы системы. Ура!
Ну и раз пошла такая пьянка: ответьте -- что такое состояние системы (микросостояние и макросостояние)? А то без чёткого определения дальнейший разговор всё больше и больше кажется бесполезным.

Пусть у нас есть идеальный газ в изолированной системе. Зададим немаксвелловское распределение скоростей частиц. Разве они в процессе эволюции при многочисленных столкновениях между собой не придут к максвелловскому?

Eule_A в сообщении #1347054 писал(а):

1. чётко написать, что Вы понимаете под микроканоническим и каноническим распределением, а заодно - по просьбам трудящихся - под состоянием системы;

Микроканоническое распределение это распределение частиц ансамбля в изолированной системе с сохранением общей энергии. Макроканоническое распределение это распределение частиц ансамбля в закрытой системе с обменом энергией, так что тут будет постоянная температура Состояние системы это распределение частиц в пространстве импульсов и координат.

Eule_A в сообщении #1347054 писал(а):

2. ответить столь же чётко на вопросы
warlock66613 в сообщении #1346979

писал(а):
Какую систему рассматриваем, распределение чего ищем, какие макроусловия накладываем, какое распределение получаем (или не получаем) и т. д.

Короче, есть квантовая система пока что с равноотстоящими уровнями $E,2E,3E$ и функцией распределения частиц по уровням $p_0,p_1,p_2,...$. Система изолированная, значит сохраняется полная энергия. Теперь начинаем перемешивать частицы, это физически можно реализовать допустим как взаимодействия частиц между собой с дальнейшим изменением их энергии. Вот берем две рандомных частицы, считаем их энергию, и также рандомно их распределяем по ячейкам с сохранением их суммарной полной энергии. В моем представлении эта система со временем будет стремиться к наиболее вероятностному распределению, максимизирующей информационную энтропию.

Eule_A в сообщении #1347054 писал(а):

Вот эти слова, например, превратить в оформленные рассуждения, понятные не только автору.

Вы согласны с тем, что если у нас имеется ряд чисел, попарные отношения между которыми иррациональны, то при суммировании их с натуральными коэффициентами каждое полученное значение однозначно определяет используемый набор натуральных коэффициентов?
P.S. По поводу той работы, в ней авторы при применении метода максимального производства информационной энтропии накладывали только ограничения на суммарную вероятность, но не на сохранение полной энергии или импульса. Т.е. их формула применима скажем к процессу диффузии. Но у меня получаются разные результаты.
пусть есть два состояния с функциями распределения $p$ и $1-p$, и скорость диффузии между ними будет пропорциональна $p-(1-p)=2p-1$
Если использовать формулу из той статьи, то скорость будет пропорциональна логарифму $ln(x)-ln(1-x)$
Почему так выходит? В каких случаях применима их формула и подход?

[warlock66613]

Sicker в сообщении #1347300 писал(а):

Микроканоническое распределение это распределение частиц ансамбля

Нет, это не распределение частиц ансамбля!

[Sicker]

warlock66613 в сообщении #1347301 писал(а):

Нет, это не распределение частиц ансамбля!

А что же это? У нас там больше ничего нет

[warlock66613]

Sicker в сообщении #1347304 писал(а):

А что же это?

Если мы говорим о системе классических частиц, то это распределение на пространстве состояний системы частиц, то есть это функция $6N$ переменных. В то время как распределение частиц - это функция всего $6$ переменных (примером такого распределения является распределение Максвелла - Больцмана).

Sicker в сообщении #1347300 писал(а):

Состояние системы это распределение частиц в пространстве импульсов и координат.

И это неверно. Состояние системы - это точка в $6N$-мерном фазовом пространстве. А распределение частиц в $6$-мерном фазовом пространстве частицы - это одночастичная функция распределения, редуцированное состояние.

[Sicker]

warlock66613 в сообщении #1347317 писал(а):

И это неверно. Состояние системы - это точка в $6N$-мерном фазовом пространстве. А распределение частиц в $6$-мерном фазовом пространстве частицы - это одночастичная функция распределения, редуцированное состояние.

Ну да, конечно Ну так мы говорит в микроканоническом распределении о распределении частиц в 9-мерном пространстве, а выводится оно из максимально вероятностного состояния системы, разве нет?