Иррациональные энергетические уровни

[Sicker]

Пусть есть квантовая система с дискретными возрастающими энергетическими уровнями $E_0, E_1,...$. Тогда распределение по уровням $N$ частиц можно найти из максимума информационной энтропии при постоянстве энергии, то бишь через распределение Гиббса. Но! Пусть у нас уровни будут не равноотстоящие, а отношение между ними будет иррациональным числом. Тогда каждое распределение частиц будет задавать свою собственную уникальную энергию, и любой переход частиц с уровень на уровень вызовет изменение энергии.
Тогда можно поступить двояко, энергию определить с какой-то точностью, там с точностью до энергии одной частицы, тогда можно сказать, что распределение является самым вероятностным по всем распределениям с заданной энергией с точностью до энергии одной частицы. Или же у нас распределение не будет подчиняться Гиббсу.
Все-таки правильнее первый вариант, и неопределенность энергии тут уже будет заложена на квантовом уровне?

[warlock66613]

Sicker в сообщении #1346710 писал(а):

при постоянстве энергии, то бишь через распределение Гиббса

Разве распределение Гиббса - это не при заданной температуре?

[madschumacher]

Sicker в сообщении #1346710 писал(а):

Пусть у нас уровни будут не равноотстоящие, а отношение между ними будет иррациональным числом.

При выводе распределения Гиббса вообще ничего не говорится о том, как эти уровни расположены. Пусть хоть все вырождены будут! Будут энергии -- будет распределение.

[Sicker]

warlock66613 в сообщении #1346764 писал(а):

Разве распределение Гиббса - это не при заданной температуре?

У нас есть только квантовые уровни энергии. За температуру можно взять суммарную энергию.

madschumacher в сообщении #1346799 писал(а):

:facepalm: При выводе распределения Гиббса вообще ничего не говорится о том, как эти уровни расположены. Пусть хоть все вырождены будут! Будут энергии -- будет распределение

Ну если только в пределе бесконечного числа частиц в дискретном случае, ибо как я сказал для каждого точного возможного значения энергии существует только одна конфигурация. Потому что если у нас есть ряд чисел, попарные отношения между которыми иррациональны, то при суммировании их с натуральными коэффициентами мы для каждого набора натуральных коэффициентов будем получать различные значения.

-- 16.10.2018, 20:21 --

И вот еще, пусть у нас изначально распределение не по Гиббсу, то в процессе эволюции оно будет стремиться к Гиббсковскому по градиенту информационной энтропии?

[madschumacher]

Sicker в сообщении #1346838 писал(а):

Ну если только в пределе бесконечного числа частиц в дискретном случае,

Переход к "непрерывному распределению" (т.е. к замене суммы по возможным состояниям на интеграл по фазовому пространству) -- достаточно изученная стадия. И нет, и в дискретном случае тоже.

Sicker в сообщении #1346838 писал(а):

ибо как я сказал для каждого точного возможного значения энергии существует только одна конфигурация.

Не, ну говорить Вы можете что угодно, но разные модельные системы с Вами не согласятся.

Sicker в сообщении #1346838 писал(а):

Потому что если у нас есть ряд чисел, попарные отношения между которыми иррациональны, то при суммировании их с натуральными коэффициентами мы для каждого набора натуральных коэффициентов будем получать различные значения.

Это Вы про сумму $E = \sum_i n_i E_i$, или про что? Пожалуйста покажите формулами, где то, что "будем получать различные значения" (что бы это ни значило), помешает использованию метода максимальной энтропии?

И вообще, сформулируйте почётче то, что Вы хотите сказать? Без ясного предмета обсуждения получаются дискуссии глухого и слепого.

[Sicker]

madschumacher в сообщении #1346842 писал(а):

Пожалуйста покажите формулами, где то, что "будем получать различные значения" (что бы это ни значило), помешает использованию метода максимальной энтропии?

Да про нее. Так он вообще тут не нужен выходит, т.к. сама энергия уже определяет конфигурацию частиц.

-- 16.10.2018, 20:43 --

Хотя можно сказать что в нашем мире не существует иррациональных чисел

[madschumacher]

Sicker в сообщении #1346845 писал(а):

Хотя можно сказать что в нашем мире не существует иррациональных чисел

Числа $\pi$ и $e$ с Вами не согласятся... Хотя (строго говоря) я не знаю из какого мира Вы пишете...

[Sicker]

madschumacher в сообщении #1346846 писал(а):

Числа $\pi$ и $e$ с Вами не согласятся...

Ну так вы их никогда с абсолютной точностью и не вычислите
Так что насчет строчки выше и моего сообщения про эволюцию?

[warlock66613]

Sicker в сообщении #1346838 писал(а):

За температуру можно взять суммарную энергию.

Это какой-то бред. Либо у вас система в контакте с термостатом и её энергия не фиксирована, либо система замкнута и энергия фиксирована, но тогда при чём тут рапределение Гиббса?

-- 16.10.2018, 22:04 --

Sicker в сообщении #1346838 писал(а):

в процессе эволюции оно будет стремиться к Гиббсковскому?

А где собственная попытка решения?

[Sicker]

warlock66613 в сообщении #1346851 писал(а):

, либо система замкнута и энергия фиксирована, но тогда при чём тут рапределение Гиббса

Не при чем? Тогда как оно называется?

-- 16.10.2018, 21:05 --

warlock66613 в сообщении #1346851 писал(а):

А где собственная попытка решения?

Очевидно что по градиенту возрастания информационной энтропии

[madschumacher]

Sicker в сообщении #1346852 писал(а):

Очевидно что по градиенту возрастания информационной энтропии

Вы не записали ни одной формулы, ни одного определения. Так что Ваши послания (с ростом их количества с эволюцией их числа последовательно по ряду натуральных чисел)
всё больше напоминают знаменитое

АиБ писал(а):

Ротор поля наподобие дивергенции градуирует себя вдоль спина и там, внутре, обращает материю вопроса в спиритуальные электрические вихри, из коих и возникает синекдоха отвечания…

Пожалуйста, прошу Вас: сформулируйте чётче предмет дискуссии.

Sicker в сообщении #1346852 писал(а):

Очевидно что по градиенту возрастания информационной энтропии

Информационная то энтропия тут при чём?! В чём она провинилась?!

[warlock66613]

Sicker в сообщении #1346852 писал(а):

Тогда как оно называется?

А кто "оно"? Микроканоническое распределение (Гиббса)?

[Sicker]

madschumacher в сообщении #1346855 писал(а):

Пожалуйста, прошу Вас: сформулируйте чётче предмет дискуссии.

Если у нас есть иррациональные энергетические уровни, то распределение Гиббса по максимуму информационной энтропии неприменимо ибо само распределение жестко определяется своей энергией. Смотрите выше посты про суммы.

madschumacher в сообщении #1346855 писал(а):

Информационная то энтропия тут при чём?! В чём она провинилась?!

А тем, что из нее можно вывести все распределения ансамблей

warlock66613 в сообщении #1346867 писал(а):

А кто "оно"? Микроканоническое распределение (Гиббса)?

Оно самое

[Sicker]

madschumacher в сообщении #1346855 писал(а):

Информационная то энтропия тут при чём?! В чём она провинилась?!

Есть так называемый принцип максимума производства информационной энтропии
http://www.mathnet.ru/links/2e5da652f32 ... spy733.pdf

[madschumacher]

Sicker в сообщении #1346903 писал(а):

Если у нас есть иррациональные энергетические уровни, то распределение Гиббса по максимуму информационной энтропии неприменимо ибо само распределение жестко определяется своей энергией.

Хорошо, вот допустим у нас есть Ваша система "иррациональных энергетических уровней" $\{E_0, E_1, E_2, \ldots \}$.

• В случае микроканонического распределения Гиббса плотность вероятности распределения по энергии задана как
  $\omega(E') = \delta(E-E')$, где $E=\sum_i n_i E_i$ -- энергия системы для избранного распределения частиц по уровням. Поскольку у нас задано макросостояние, то коэффициенты $\{n_i\}_i$ у нас фиксированы.
• В случае канонического распределения Гиббса (т.е. когда у нас есть внешняя система, обменивающаяся с рассматриваемой системой энергией) же вероятность найти частицу в состоянии $i$ с энергией $E_i$ -- это
  $\omega_i \propto \exp\left(-\frac{E_i}{kT} \right)$.
  Это распределение получается при помощи принципа максимальной энтропии, и при этом нигде там не накладывается условий на вид энергетического спектра $\{E_0, E_1, E_2, \ldots \}$, а значит это распределение справедливо в т.ч. и для "иррациональных энергетических уровней".
• С большим каноническим ансамблем та же фигня.

И где здесь "иррациональные уровни" помеха существованию этого распределения?

Sicker в сообщении #1346903 писал(а):

А тем, что из нее можно вывести все распределения ансамблей

Больцмановское определение энтропии появилось первым. Из него же выводятся распределения для разных ансамблей. Поэтому, имхо, смешивать то, что было придумано для описания передачи сигналов (информационная энтропия) на основе больцмановского распределения с самим больцмановским распределением (т.е. штукой, описывающей конкретную часть реальности, а именно равновесные термодинамические системы) -- это какое-то кощунство. Тем более, что обзывание энтропии "информационной" может порождать бурления феласоффских высказываний о том, что "вся наша реальность -- это информация: физики и математики это давно показали, но скрывают!". Это аналогичные конструкции, но то как и к чему они применяются -- это существенная разница.

Sicker в сообщении #1346922 писал(а):

Есть так называемый принцип максимума производства информационной энтропии http://www.mathnet.ru/links/2e5da652f32 ... spy733.pdf

Эх, как же я обожаю серьёзные математические статьи, набранные в MS Word...