Доказать монотонность числовой последовательности

[leonov.oleksii]

Помогите, пожалуйста, разобраться в задаче. Нужно доказать, что последовательность $x_n = (1 + \frac1n)^{n + 1}$ монотонно убывает. Я так понимаю, нужно использовать неравенство Бернулли и условие, что $\frac{x_n}{x_{n-1}} < 1$, но не понимаю как.

[thething]

leonov.oleksii в сообщении #1346785 писал(а):

не понимаю как.

Начните расписывать ту дробь -- и поймёте. Надо привести свои попытки решения.

-- 16.10.2018, 19:48 --

Только лучше взять $\frac{x_{n-1}}{x_n}$. Там неравенство Бернулли и вылезет.

[leonov.oleksii]

thething в сообщении #1346787 писал(а):

Только лучше взять $\frac{x_{n-1}}{x_n}$. Там неравенство Бернулли и вылезет.

Вот получил я, что $\frac{(1 + \frac{1}{n - 1})^n}{(1 + \frac1n)(1+\frac1n)^n}$. Что мне с этим дальше делать?

[thething]

Поприводить к общему знаменателю и добиться следующего вида: $\left(\frac{...}{...}\right)^n\frac{n}{n+1}$.

Кстати, зря Вы знаменатель на две скобки разложили. Хотя не, не зря, нормально всё так.

Либо найдите учебник по математическому анализу, в котором это доказывается (не помню, где это есть, в каком-то известном, типа Зорича или Кудрявцева). Непонятные моменты можете уже спрашивать тут. Задачка стандартная и расписывать её решение тут по действиям нет никакого смысла.

[TOTAL]

leonov.oleksii в сообщении #1346790 писал(а):

Вот получил я, что $\frac{(1 + \frac{1}{n - 1})^n}{(1 + \frac1n)(1+\frac1n)^n}$. Что мне с этим дальше делать?

Запишите неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для чисел $\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$ ($n$ штук) и $\left(1+\frac{1}{n}\right)$ ($1$ штука)

[novichok2018]

есть, как тут указали, три стандартных способа доказать, но каждый использует что-то специальное: неравенство Бернулли, неравенство о средних, бином Ньютона.

[ewert]

leonov.oleksii в сообщении #1346785 писал(а):

нужно использовать неравенство Бернулли и условие, что $\frac{x_n}{x_{n-1}} < 1$

leonov.oleksii в сообщении #1346790 писал(а):

Вот получил я, что $\frac{(1 + \frac{1}{n - 1})^n}{(1 + \frac1n)(1+\frac1n)^n}$. Что мне с этим дальше делать?

Вот ровно так (правда, арифметику я не проверял). А дальше -- опознать в полученном разность квадратов; после этого, поскольку цель мы знаем, неравенство Бернулли выскочит более-менее автоматически.