Простые задачи по топологии

[Grom Hellscream]

Решил повторить топологию
Для начала пара нетрудных задач на гом. эквивалентности, поправьте, пожалуйста.

Вычислить $\pi _1$ и $\pi_2$ от следующий пространств:
а) Дополнение в $\mathbb{R}^5$ к подпространствам
$x_1=x_2=0,\ x_2=x_3=0,\ x_3=x_4=0,\ x_1=x_2=x_3,\ x_3=x_4=x_5,\ x_2=x_4=x_5=0$ .
Обозначим эти подпространства $u_1,u_2,u_3,u_4.u_5,v_1$. Тогда $u$ это трехмерные подпространства, $v$ это плоскости.
Все эти подпространства проходят через 0, и это единственное общее пересечение.
Рассмотрим попарные пересечения: $u_1\cap u_2 =\langle x_4,x_5 \rangle $, $u_1\cap u_3 =\langle x_5 \rangle $, $u_1\cap u_4 =\langle x_4,x_5 \rangle $, $u_1\cap u_5 =\langle t \rangle $ - прямая, $u_2\cap u_3 =\langle x_1,x_5 \rangle $, $u_2\cap u_4 =\langle x_4,x_5 \rangle $, $u_2\cap u_5 =\langle x_1 \rangle $, $u_3\cap u_4 =\langle x_5 \rangle $, $u_3\cap u_5 =\langle x_1,x_2 \rangle $, $u_4\cap u_5 =\langle s \rangle $ - другая прямая, $v_1\cap u_1 =\langle x_3 \rangle $, $v_1\cap u_2 =\langle x_1 \rangle $, $v_1\cap u_3 =\langle x_1 \rangle $, $v_1\cap u_4 =\langle 0 \rangle $ - точка, $v_1\cap u_5 =\langle x_1 \rangle $.
Выколем точку 0 и ретрагируем дополнение до нее и на четырехмерную сферу. При этой ретракции трехмерные пространства перейдут в двумерные сферы, а плоскость в окружность. Каково взаимное расположение? Пусть $u_i\mapsto S^2_i$, $v_1 \mapsto S^1_0$. Тогда сферы $S^2_1$, $S^2_2,\ S^2_4$ имеют общую окружность $S^1_{124}$ (которая образ плоскости $\langle x_4,x_5 \rangle $), $S^2_3$) пересекает $S^2_1 $ по точке $a_{31}$, сферу $S^2_2$ по другой окружности $S^1_{23} $, сферу $S^2_4$ по паре точек $a_{31}, b_{34}$, при этом, $S^1_{124} \cap S^1_{23} = a_{31}$. Сфера $S^2_5$: пересекает $ S^2_5\cap S^2_1 = a_{15},b_{15},\ S^2_5\cap S^2_2 = a_{25},b_{25},\ S^2_5\cap S^2_3 = S^1_{35}\ni a_{25}, \ S^2_5\cap S^2_4 = a_{45},b_{45}. $. Окружность
$S^1_0$: $S^1_0 \cap S^2_1 = a_{01},b_{01},\ S^1_0 \cap S^2_2 = a_{25},b_{25},\ S^1_0 \cap S^2_3 = a_{25},b_{25}, \ S^1_0 \cap S^2_4 = \emptyset,\ S^1_0 \cap S^2_5 = a_{25},b_{25} $.
Мы получили дополнение в $S^4$ к пяти двумерным сферам и одной окружности, хитро расположенным. Можно попытаться сделать дальнейшую ретракцию в $\mathbb{R}^4$, чтобы найти удобный букет двумерных компактных многообразий и воспользоваться теоремой Ван-Кампена. Но тут я немного пасую, а еще неясно, как считать $\pi_2$.

б) Дополнения в $S^3$ до шести попарно зацепленных стандартно вложенных окружностей.
У нас имеется 6 независимых петель-образующих (обход вокруг каждой окружности). Поскольку окружности попарно зацеплены, то при рассмотрении петель, образованных обходом вокруг них и вблизи них, мы обнаружим, что они коммутируют, т.к. дополнение $S^3$ до двух зацепленных окружностей это двумерный тор, образующие которого это наши две выбранные образующие в исходном пространстве. Таким образом, имеем группу из шести образующих и с соотношениями $\langle a_1,\ldots a_6\colon [a_i,a_j] = 0 \rangle \cong \mathbb{Z}^6$.
Данное пространство имеет тривиальное $\pi_2$. Действительно, зацепленность значит, что нельзя развести никакие две окружности двумерной сферой, т.е. все эти окружности лежат в каком-то одном трехмерном шаре, внутри которого нельзя выбрать сферу не задев окружности. Но дополнение до трехмерного шара в $S^3$ имеет тривиальное $\pi_2$.

в) Дополнения в $\mathbb{R}P^3$ до трех зацепленных по циклу окружностей, вложенных стандартно.
Здесь нет особых идей, кроме той, что $\mathbb{R}P^3\backslash S^1 \cong \mathbb{R}P^2\times \mathbb{R}^1$. Дальше как-то рассмотреть дополнение до двух окружностей в произведении, но мне не очень понятно что там получится.

[Grom Hellscream]

Неужели никто не знает этого материала? Да быть такого не может...

[alcoholist]

каждый раз мысленно исправлять опечатки вроде

Grom Hellscream в сообщении #1345853 писал(а):

$u_1,u_2,u_3,u_4.u_5,v_1$. Тогда $u$ это трехмерные подпространства, $v$ это плоскости

напрягает.

-- Вс окт 14, 2018 12:47:06 --

Grom Hellscream в сообщении #1345853 писал(а):

Все эти подпространства проходят через 0, и это единственное общее пересечение.

два трехмерия в пятимерии не меньше, чем по одномерному чему-то пересекаются

[vpb]

alcoholist в сообщении #1346112 писал(а):

каждый раз мысленно исправлять опечатки вроде

Коллега, я там опечатки не вижу (кроме того, что ТС точку вместо запятой поставил, после $u_4$)

Grom Hellscream в сообщении #1346079 писал(а):

Да быть такого не может

Усё быть может, бо математика велика.

[Grom Hellscream]

alcoholist в сообщении #1346112 писал(а):

каждый раз мысленно исправлять опечатки

А в чем опечатка? Я если честно не вижу.

alcoholist в сообщении #1346112 писал(а):

два трехмерия в пятимерии не меньше, чем по одномерному чему-то пересекаются

Два да, но там о пяти трехмериях речь шла.

[vpb]

В б) про $\pi_2$ правильно (на уровне наглядных соображений, строго я не знаю как, не моя специальность). Про фундаментальную группу не скажу точно. Когда окружностей две, то верно (однако же, дополнение $S^3$ до двух зацепленных окружностей --- это не двумерный тор, а $T^2\times {\mathbb R}$). Для шести не скажу сразу.

Про в). Такой наводящий вопрос: если $p:E\longrightarrow B$ --- конечнолистное накрытие, то как связаны гомотопические группы для $E$ и $B$ (как фундаментальная, так и большей размерности)?
Еще вопрос (тоже наводящий): нет ли у рассматриваемого пространства какого-то накрытия, более-менее обозримого ?

Про а) ничего сказать не могу, выглядит довольно сложно. Могу только посоветовать общий подход: рассмотрите сначала более простые задачи, когда удаляется одно подпространство, или два, или три.

[Grom Hellscream]

vpb в сообщении #1346131 писал(а):

Про в). Такой наводящий вопрос: если $p:E\longrightarrow B$ --- конечнолистное накрытие, то как связаны гомотопические группы для $E$ и $B$ (как фундаментальная, так и большей размерности)?
Еще вопрос (тоже наводящий): нет ли у рассматриваемого пространства какого-то накрытия, более-менее обозримого ?

Да, если есть накрытие, то у тотального пространства и базы одинаковые старшие группы, а фундаментальная группа тотального вкладывается как подгруппа нормальная в группу базы.
Ваша подсказка в том, что мы можем рассмотреть тотальное протранство двулистного накрытия $S^3$, и рассмотреть прообразы при такой проекции? Но мне сходу неочевидно, во что перейдут окружности. Каждая либо в пару окружностей, либо в окружность.

vpb в сообщении #1346131 писал(а):

Про а) ничего сказать не могу, выглядит довольно сложно. Могу только посоветовать общий подход: рассмотрите сначала более простые задачи, когда удаляется одно подпространство, или два, или три.

Ну да, это тупо задача на "научиться руками делать какие-то гомотопические преобразования". И вот с самой техникой слегка проблемы.

[iou]

Grom Hellscream в сообщении #1346271 писал(а):

Ну да, это тупо задача на "научиться руками делать какие-то гомотопические преобразования". И вот с самой техникой слегка проблемы.

Это неудивительно, поскольку нет общей техники подсчёта гомотопических групп дополнений до подпространств (при том, что такая техника есть для подсчёта когомологий).

[Grom Hellscream]

iou в сообщении #1348946 писал(а):

Grom Hellscream в сообщении #1346271 писал(а):

Ну да, это тупо задача на "научиться руками делать какие-то гомотопические преобразования". И вот с самой техникой слегка проблемы.

Это неудивительно, поскольку нет общей техники подсчёта гомотопических групп дополнений до подпространств (при том, что такая техника есть для подсчёта когомологий).

Я знаю, что гомотопические группы произвольных пространств не умеют вычислять. Речь шла о технике выполнения каких-то простых ретракций, чтобы свести одно пространство к другому.

[vpb]

Grom Hellscream в сообщении #1346271 писал(а):

Да, если есть накрытие, то у тотального пространства и базы одинаковые старшие группы, а фундаментальная группа тотального вкладывается как подгруппа нормальная в группу базы.
Ваша подсказка в том, что мы можем рассмотреть тотальное протранство двулистного накрытия $S^3$, и рассмотреть прообразы при такой проекции

Да, я именно это имел в виду. Более конкретно я сказать ничего не могу.
(Извиняюсь, что-то редко я на форум заходить стал...).