Постулаты в гипотезе Коллатца

[Soul Friend]

не имею возражений, всё так.

[Soul Friend]

danton в сообщении #1345867 писал(а):

"2)" доказывается элементарным образом. Для этого не нужны никакие матрицы. Но из эгото все равно не следует гипотеза Коллатца.

Мы можем считать $ x>y$. Поэтому $3y+1<4x$.

Не доказано. Не рассмотрели случай $3y+1$ и $2x$.

danton в сообщении #1345894 писал(а):

Но для доказательства гипотезы Коллатца нужно также доказать что нет тройки нечетных чисел, четверки нечетных чисел и т.д.

Если доказать (на самом деле - опровергнуть) для пары, то откуда взяться тройке, четвёрке и.т.д по математической индукции? Вчера был занят на работе, не было времени подумать.

[danton]

Цитата:

Не доказано. Не рассмотрели случай $3y+1$ и $2x$.

Что значит не рассмотрел? Я как раз именно случай $3y+1=2x$ и расписал во всех подробностях.

Цитата:

Если доказать для пары, то откуда взяться тройке, четвёрке и.т.д? Вчера был занят на работе, не было времени подумать.

Я написал доказательство, что нету цикла в котором ровно 2 нечетных числа. Из этого никоим образом не следует что нету цикла в котором ровно 3 нечетных числа. Под циклом в котором ровно 3 нечетных числа я имею в виду следующую ситацуию:
$3x+1=2^m y$
$3y+1=2^n z$
$3z+1=2^k x$

[Soul Friend]

так вы можете доказать и для пары $x>y$, $3y-1$ и $2x$ ?

danton в сообщении #1345992 писал(а):

Под циклом в котором ровно 3 нечетных числа я имею в виду следующую ситацуию:
$3x+1=2^m y$
$3y+1=2^n z$
$3z+1=2^k x$

расставьте знаки равенства между $x, y, z$ и применяете своё доказательство по индукции.

[danton]

Цитата:

так вы можете доказать и для пары $x>y$, $3y-1$ и $2x$ ?

Я не понял при чем тут $3y-1$. Но вообще если мы хотим найти все нечетные числа $x$ и $y$ такие что,
$3x-1=2^m y$,
$3y-1=2^n x$,
можно применить похожий аргумент. Он находит пару $(5,7)$ и доказывает что других таких пар нет. Это делается так:
$3y-1=2x$. Подставляя $x=(3y-1)/2$ в уравнение $3x-1=2^m y$, получаем $(9y-5)/2=2^my.$ Отсюда следует что $5=9y-2^{m+1}y$. Поэтому 5 делится на $y$. Но только в этом случае $y=5$ подходит. Получается пара $y=5, x=7$.

Цитата:

danton в сообщении #1345992 писал(а):

Под циклом в котором ровно 3 нечетных числа я имею в виду следующую ситацуию:
$3x+1=2^m y$
$3y+1=2^n z$
$3z+1=2^k x$

расставьте знаки равенства между $x, y, z$ и применяете своё доказательство по индукции.

Я более менее увенен, что если применю небольшое усилие, смогу сделать аналогичное доказательство для трех чисел. Но при чем здесь математическая индукция? Доказательство для трех нужно делать заново. Я абсолютно не вижу каким образом оно могло бы следовать из доказательства для двух.

[Soul Friend]

спасибо за разъяснение, возьму паузу на время.

[Soul Friend]

danton в сообщении #1345992 писал(а):

Под циклом в котором ровно 3 нечетных числа я имею в виду следующую ситацуию:
$3x+1=2^m y$
$3y+1=2^n z$
$3z+1=2^k x$

А как это условие записать для всех случаев в виде уравнения или формулы? (при допущении что оно верно)

[danton]

Soul Friend в сообщении #1346051 писал(а):

danton в сообщении #1345992 писал(а):

Под циклом в котором ровно 3 нечетных числа я имею в виду следующую ситацуию:
$3x+1=2^m y$
$3y+1=2^n z$
$3z+1=2^k x$

А как это условие записать для всех случаев в виде уравнения или формулы? (при допущении что оно верно)

Для цикла длины $k$ можно написать

$$ \begin{cases} 3x_1+1=2^{n_1}x_2\\ 3x_2+1=2^{n_2}x_3\\ \ldots\\ 3x_k+1=2^{n_k}x_1 \end{cases} $$

Но только стоит иметь в виду, что для доказательства гипотезы Коллатца нужно также убедиться что нету и бесконечных цепочек (а не только циклов конечной длины).