Вопрос про квантовые числа m и l

[Ascold]

У Бома в его "Квантовой теории" оператор момента импульса исследуется с помощью повышающих и понижающих операторов $\hat{L}_x\pm i\hat{L}_y,$ на этом пути обнаруживается, что магнитное кв. число m ограничено сверху и снизу числами $m_1$ и $m_2$. Для их нахождения подействуем на соотв. собственные функции $\psi_{m_1}$ и $\psi_{m_2}$ оператором $\hat{L}^2,$ в итоге получатся уравнения

$$\hat{L}^2\psi_{m_1}=\hbar m_1(m_1+1)\psi_{m_1} \quad (14.33)$$

и

$$\hat{L}^2\psi_{m_2}=\hbar m_2(m_2-1)\psi_{m_2}, \quad (14.34)$$

откуда делается вывод, что если они справедливы одновременно, то д.б. $m_2=-m_1$ или $m_2=m_1+1.$ Второй вариант отбрасывается, т.к. $m_1=\sup\{m\},$ ну и обозначаем $m_1=l, \quad m_2=-l.$ Это решения квадратного уравнения $m_2^2-m_2=m_1^2+m_1,$ но вот что не ясно - почему оно вообще должно иметь место, ведь функции $\psi_{m_1}$ и $\psi_{m_2}$ не обязаны быть равными, по крайней мере до этапа их нахождения через присоединённые полиномы Лежандра рассуждать на эту тему как-то не очень?

[Slav-27]

Ascold в сообщении #1345964 писал(а):

но вот что не ясно - почему оно вообще должно иметь место,

Потому что это квадрат углового момента, который не меняется (так как квадрат момента коммутирует с компонентами).

[Ascold]

Slav-27 в сообщении #1345965 писал(а):

Потому что это квадрат полного углового момента, который не меняется (так как квадрат момента коммутирует с компонентами).

Можете чуть развернуть Вашу мысль - он коммутирует с $\hat{L}_z,$ например, значит, у них общий набор собственных функций. Но как из этого следует, что $\hat{L}^2\psi_{m_1}=\hat{L}^2\psi_{m_2}?$

[Slav-27]

Чем мы вообще занимаемся? Мы берём общее собственное состояние для $\hat L^2$ и $\hat L_z$ и действуем на него повышающими и понижающими операторами. Они коммутируют с $\hat L^2$ и поэтому не меняют квадрат углового момента, а проекцию на ось $z$ чудесным образом меняют на единичку. Может ли это длиться до бесконечности? -- Нет: есть максимальное значение проекции, которое повышающий оператор уже не может повысить, и минимальное, которое понижающий не может понизить.

-- 13.10.2018, 19:51 --

Эти $m_1=-m_2=m$ зависят, конечно, от значения квадрата момента, которое изначально фиксировано.

[Ascold]

Благодарю, теперь понял - путаница у меня возникла оттого, что у Бома и оператор квадрата момента, и его собственное значение обозначается без различий символом $L^2$.

(Оффтоп)

На самом деле, я споткнулся об это $L^2$ ещё несколько лет назад при изучении КМ, всё собирался разобраться, и вот этот день настал - с помощью Slav-27 на меня снизошло просветление.