Характеристики векторного поля

[Ioda]

Уважаемые участники форума ,пусть задано некоторое конечное счетное вероятностное пространство $(\Omega,2^\Omega ,\mathbb{P})$ ,такое что $\Omega=(\omega_1,...,\omega_n)$ и рассматривается некоторое векторное поле $\vec{A}$ ,такое что каждой точке $M(x_1,...,x_n)$ ставится в соответствие вектор $\vec{A}(M)$ ,такой что :

$$\mathbb{P}(\omega_i)=\frac{(y_i-x_i)^2}{\sum\limits_{j=1}^{n}(y_j-x_j)^2}$$

,где знаменатель дроби - квадрат нормы вектора $\vec{A}$ .
Такой вопрос : дивергенция ,а вместе с ним и ротор этого поля равны нулю?
В явную выписывать вектор сложно,хотя я пытался ,именно при этих попытках получил ноль ,как результат дивергенции (дилетантский глаз не рассмотрел каких-либо функций и увидел лишь константы ). С ротором та же история.

[DeBill]

Ioda
А $y$ - это конец вектора $A$, да?
Не надо так. Оно, конечно, "вектор - эт направленный отрезок" - но не надо вводить координаты для заднего и переднего концов этого отрезка...Пусть уж вектор так и будет $A$, а его компоненты - $A_i$.
Условие Ваше фактически означает (ну вот причем тут тервер?), что все вектора - пропорциональны.Н у посмотрите любой не совсем уж тривиальный пример - и увидите, что нет тут ничего хорошего....
Например, $A(x) = (a(x),a(x))$ (вероятности, ура, половинки!). И что за условие тогда - нулевость дивергенции?

(Оффтоп)

Ой, а ротор - это что за ... в нетрехмерном пространстве?

[Ioda]

DeBill, теорвер приплел из-за технических нужд. Последняя ваша запись ( $A(x)=(a(x),a(x))$ ) не совсем ясна мне. Про ротор в $n$-мерном пространстве вычитал из вики и некоторых других источников. Приму ваш совет ,про компоненты вектора, к сведению.

[DeBill]

Ioda в сообщении #1344821 писал(а):

Последняя ваша запись ( $A(x)=(a(x),a(x))$ ) не совсем ясна мне

Ну, $n=2$ здесь. Ну, давайте, в трехмерии, в обычных координатах, возьмем вектор $A=(a,a,a)$, где $a$ - функция трех переменных (например,$a=a(x,y,z) = 2x+3y+5z$ ). И что будет с ротором и дивиргенцией?

[Ioda]

Дивергенция данного поля будет равна :
$\operatorname{div}\vec{A}=2+3+5=10$
Ротор:
$\operatorname{rot}\vec{A}=(5-3)\vec{i}+(2-5)\vec{j}+(3-2)\vec{k}=2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}$
Верно?

[DeBill]

Да - с точностью до знака...

[Ioda]

Так у вас там везде плюсы, минусы вроде выглядывают лишь из формулы ротора . Что-то недопонимаю.

[DeBill]

Дык - знаки перепутаны в формуле для ротора. Посмотрите в той же Вики

[Ioda]

Кажется я понял где ошибка. Попутал компоненты и производные. Но где это может мне помочь с решением моей задачи ,не улавливаю.

[DeBill]

Ioda
КАКОЙ задачи? Мы только что выяснили, что Ваше предположение (про равенство нулю ротора и дивергенции) ошибочно.
Какую же задачу Вы собираетесь решать?

[Ioda]

Задачи такой : а чему равны дивергенция и ротор этого поля ? Хотя кажется ,я примерно догадываюсь к чему Вы меня привели. Пусть $\mathbb{P}(\omega_i)=p_i$ ,тогда :
$A_i=\sqrt{p_i\sum\limits_{j=1}^{n}A_j^2}$
Дивергенция (по новому пересчету ):
$\operatorname{div}\vec{A}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{A_i\sqrt{p_i}}{\sqrt{\sum\limits_{j=1}^{n}A_j^2}}$
Это верно?

[DeBill]

Ioda
Нет. Куда делись все производные????
Что за странное уравнение для $A_i$: оно есть и в сумме, это А-итое...
Проще сделать так: обозначить Ваш корень из суммы квадратов через $a$ - и получим отсюда эти $A_i$. Это и будет - в общем виде - Ваше поле. И вот от него и считайте производные, и прочее....