Признак Абеля и Дирихле, несобственные интегралы

[bitcoin]

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, где можно найти задания по теме "признак Абеля и Дирихле для несобственных интегралы".
В Демидовиче поискал, но там пишется просто - исследовать на сходимость. В Кудрявцеве не нашел тоже явной формулировке. В Письменном тоже не нашел. Хотелось бы найти на эти 2 признака задачи, причем не сильно сложные, чтобы просто понять - как работают данные признаки на практике.
Можно просто сборник посоветовать или здесь написать несколько заданий, если не затруднит.

[thething]

$\int\limits_{a}^{+\infty}\frac{\sin x}{x^\alpha}dx$, $a,\alpha >0$,
$\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-x}\arctg x dx$,
$\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}e^{-x}dx$,
$\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\sin\sin x}{x}dx$ (этот посложнее).

[bitcoin]

Спасибо! Кстати, а есть ли признак Дирихле для несобственных интегралов 2 рода?
P.S. Если еще подкинете задач, буду только рад!

[thething]

Признак Дирихле (как и Абеля) работает в общей формулировке, т.е. неважно, какого типа там особенность. А если у интеграла несколько особенностей, то надо разбивать интеграл на несколько и рассматривать каждую особенность отдельно.

[DeBill]

bitcoin в сообщении #1345141 писал(а):

В Демидовиче поискал, но там пишется просто - исследовать на сходимость.

А чем это Вам не нравится? Посмотрение на интеграл часто приводит к мысли "а вот этот - на Абеля -Дирихле"!
Тут фишка такая: признак этот тяжелый, и применять такой нехороший следует тогда, когда прочие, те, что попроще, не работают. А те, что попроще (напр. самый простой - мажорантный) - дают сразу абсолютную сходимость. Так что реальна А-Д применяют, обычно, когда абс. сх-ти нет, от безысходности. В примерах thething пару интегралов можно убить и простыми средствами....Так что: смотрите на интеграл: типа, не сходится он абсолютно (не удается оценить по модулю сходящимся). Ага, эт на А-Д! Ну, и пытаемся разбить на монотоннуй и "осциллирующий"множители (если, конечно, сходимость есть).

[thething]

Ещё, добавлю к словам ув. DeBill, что именно посмотрение на интеграл -- и есть самая сложная часть исследования. Вот возникнет у Вас какой-то интеграл при решении некой задачи, и никто Вам не подскажет, каким способом его исследовать, поэтому тренироваться надо как раз вслепую, может даже пробовать несколько разных способов к исследованию одного и того же интеграла, запоминая именно классы интегралов и признаки, которые работают для этих классов.

[DeBill]

thething в сообщении #1345186 писал(а):

именно посмотрение на интеграл -- и есть самая сложная часть исследования.

Во-во, я хотел это сказать тоже, да - забыл. Более того, реально мы даже поначалу еще и не знаем - а сходится ли интеграл вообще. Именно по этой причине, видимо, часть задач у Демидовича так и формулируется - "исследуйте", без подсказки ответа, и метода.