Стационарные процессы

[bubu gaga]

Пытаюсь разобраться со слабой и сильной стационарностью. Процесс $X(t, \omega)$ называется строго стационарным если для любого выбора моментов времени $t_1, t_2, t_3, \dots$, распределение $(X_{t_1}, X_{t_2}, X_{t_3}, \dots)$ зависит только от длинн интервалов между этими моментами.

Первый вопрос: допустим мы начинаем в какой-то момент времени $t_0$, где мы уверенно знаем значение $X_{t_0}$. Берём вектор $(X_{t_0}, X_{t_1})$. И теперь смещяем точки на $t_1 - t_0$. Выходит, что значение в $t_1$ равно значению в $t_0$? То есть если для стационарного процесса известно начало, то получается он равен константе?

Второй вопрос: Берём вектор $(X_{t_0}, X_{t_1})$. Величины распределены независимо. Опять же смещаем $t_2 = t_1 + (t_1 - t_0)$. Получаем, что если распределения независимо, то для любых двух моментов $t_i$ и $t_j$ на сетке с шагом $t_1 - t_0$ переменные $X_i$ и $X_j$. распределены идентично, да и вообще для всех $i$ распределения получаются идентичными, потому что все эти распределения идентичны распределению $X_0$.

Третий вопрос: Если есть зависимость между величинами и нам известны плотности распределения $f_{X_0, X_1}$ и $f_{X_1, X_2}$ (Опять же $t_2 = t_1 + (t_1 - t_0)$). Равнозначна ли строгая стационарность условию, что эти две плотности распределения идентичны? Если да, то мы интегрируем первую плотность относительно первой переменной, вторую относительно второй, и получаем одно и тоже распределение для $X_1$. Выходит, что функция плотности распределения "симметрична относительно переменных". То есть интгрирование относительно $X_0$ дало бы нам такое же распределение как и для $X_1$? Получается опять же какая-то стабильность в распределениях.

К чему я это всё веду? У меня получается, что для строго стацинарного процесса распределения для всех $X_i$ идентичны распределению для $X_0$. Но так как определение строгой стационарности звучит по другому, подозреваю, что аргументы мои не верны.

Disclaimer: я не математик, учу финансовую математику, пытаюсь разобраться, так что не судите строго. Спасибо.

[Henrylee]

На все вопросы ответ "Да". Конечный вывод нисколько не портиворечит определению. В частности это определение равносильно сохранению конечномерных распределений процесса при сдвигах.

[bubu gaga]

Спасибо. Тогда такие вопросы

1. Если у нас есть два случайных процесса, и их конечномерные распределения совпадают для любого выбора точек, то одинаковы ли эти два процесса? Или, сформулировав иначе, является ли множество всех конечномерных распределений для процесса его "полным" описанием?

2. Даёт ли решение SDE (стохастическое дифференциальное уравнение) "полное" описание процесса? То есть можно ли по SDE расчитать любые конечномерные распределения? Всегда ли можно просимулировать? Если не всегда можно расчитать, то почему?

3. Если у нас в решении SDE стоит диффузия, то $X_0$ никогда не будет равно в распределении $X_t$, то есть диффузионные процессы строго стационарным никогда не будут?

4. Следует ли из одинаковости всех одномерных распределений $X_t$, что процесс строго стационарен?

[PAV]

Могу ответить на вопросы 1 и 4.

В первом вопросе не уточнено значение слов "одинаковы" и "полным". Но тем не менее ответ скорее "нет", чем "да". Тут ситуация обстоит следующим образом. Конечномерные распределения задают вероятности так называемых "цилиндрических" множеств, которые образуют алгебру. Вероятность может быть однозначно продолжена с этой алгебры на порожденную ею сигма-алгебру. Это утверждение составляет суть "теоремы Колмогорова" в теории случайных процессов. Таким образом, вероятности всех событий, которые входят в эту сигма-алгебру, однозначно определяются конечномерными распределениями. Обычно когда говорят о процессах "вообще" то рассматривают только эту сигма-алгебру в качестве событий. Однако в конкретных случаях вероятность вполне может быть определена и на более широком классе множеств, причем здесь уже она может быть различной, хотя конечномерные распределения совпадают.

Вот канонический пример: рассмотрим два процесса на $T=[0,1]$ : первый процесс $X_t$ тождественный ноль, а второй $Y_t$ ноль везде, кроме одной точки, выбираемой случайно (равномерно), в которой значение равно 1. У этих процессов совпадают конечномерные распределения, т.е. они эквивалентны. Однако максимальное значение, которого достигают эти процессы, для первого достоверно равно нулю, а для второго - достоверно единице.

Таким образом, такие характеристики процесса, как максимум, минимум и прочие, которые определяются по "всем" значениям, не определяются конечномерными распределениями.

Однако если мы рассматриваем процессы с непрерывными траекториями, тогда эти характеристики будут определяться конечномерными распределениями.

Добавлено спустя 2 минуты 52 секунды:

В вопросе 4 ответ "нет". Одномерные распределения вообще не несут никакой информации о связи значений процесса в разных точках. Пример: рассмотрим процесс на $T=[0,1]$, имеющий две равновероятных траектории: первая равна нулю при $0\le t\le 0.5$ и единице при $0.5<t\le 1$, а вторая - ровно наоборот. Тогда все одномерные распределения совпадают: с равной вероятностью выпадают значения 0 и 1. Однако стационарности нет и близко.

[Henrylee]

bubu gaga писал(а):

Спасибо. Тогда такие вопросы

1. Если у нас есть два случайных процесса, и их конечномерные распределения совпадают для любого выбора точек, то одинаковы ли эти два процесса? Или, сформулировав иначе, является ли множество всех конечномерных распределений для процесса его "полным" описанием?

Ввиду теоремы Колмогорова эти два процесса совпадают по распределению. Или, что то же самое, семейство согласованных конечномерных распределений полностью задает распределение процесса (то есть вероятностную меру в ${\cal B}(\mathbb{R}^T)$). Но п.н. процессы при этом совпадать не обязаны (т.е. быть неразличимыми). Простой пример $W_t$ и $-W_t$.

[bubu gaga]

PAV писал(а):

В первом вопросе не уточнено значение слов "одинаковы" и "полным".

Тут идея была такая. Когда мы составляем SDE мы моделируем какой-то наблюдаемый процесс. За основу по-видимому берутся собранные статистики. Кто-то заметил например, что для наблюдаемого процесса конечные приращения независимы, это стало описанием процесса: $x_t = x_{t-1} + \epsilon_t$.

Видимо всё ещё сложенее, потому что есть характеристики не расчитываемые по конечномерным распределениям, то есть даже если наша модель производит конечномерные распределения "как надо", это ещё не значит, что она адекватна.

(Тут стояло неверное утверждение)

[PAV]

Я бы сказал так: "в жизни" конечномерных распределений должно хватать, потому что исключения носят весьма искусственный характер. Однако проблема в том, что даже конечномерные распределения можно статистически определить для небольших размерностей, потому что чем больше размерность - тем больше нужно наблюдаемых данных для надежных выводов. Поэтому и пользуются популярностью модели, в которых вероятностная модель процесса задается лишь небольшими размерностями.