Случилась каша в голове с общетопом

[Returning0fficer]

Предельная точка множества -- любая выколотая окрестность которой имеет непустое пересечение с множеством, элементом которого оно является. Замыкание множества определяется как множество, которое содержит все предельные точки множества, замыкание которого мы берём. Также я встречал такое определение: предельными точками подмножества $S\subset M$ являются такие точки $p$, что $\{p\in M \mid \exist \{x_n\} \in S x_n \rightarrow p\}$. Очевидно, что из этого определения следует первое.

Множество $S$ называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Что очевидно следует из того, что оно является дополнением некоторого открытого множества и наоборот.

Строго предельная точка множества -- точка, любая выколотая окрестность которой имеет бесконечное пересечение с множеством, элементом которого является рассматриваемая точка. То есть, предел последовательности и её предельные точки -- строго предельные точки.

Изолированная точка множества -- точка, у которой существует такая выколотая окрестность, что её пересечение с множеством, элементом которого является рассматриваемая точка, пусто.

Точка прикосновения множества -- точка является точкой прикосновения множества тогда и только тогда, когда существует сходящаяся к этой точке направленность элементов этого множества. Я думаю, что можно говорить о последовательности, так как всякая последовательность -- направленность, проиндексированная элементами $\mathbb{N}$. Так что, если что-то верно для всех направленностей, то это будет верно и для последовательностей.

Собственно второе определение точки прикосновения -- точка множества, такая, что любая её окрестность имеет непустое пересечение с множеством, элементом которого она является. Собственно, про выколотость тут нет и слова, так что получается, что элемент стационарной последовательности, например, является точкой прикосновения множества значений последовательности. Или, что всякая изолированная точка множества -- точка прикосновения, так как, очевидно, что любая окрестность будет пересекаться с множеством, элементом которого является изолированная точка, по этой самой точке. Также, всякая точка прикосновения -- предельная точка множества.

Граничная точка -- такая точка множества, что любая её выколотая окрестность содержит как точки, которые принадлежат нашему множеству, так и те точки, которые принадлежат объемлющему множеству.

Внутренняя точка -- такая точка множества, что существует некоторая окрестность, которая содержится полностью в том множестве, элементом которого является рассматриваемая точка. Всякая внутренняя точка является предельной?


Предельная точка последовательности точек -- точка, любая окрестность которой имеет бесконечное пересечение с множеством элементов последовательности. Предельных точек может быть много, если последовательность несходящаяся.

Предел последовательности точек -- такая точка, любая окрестность которой содержит все элементы последовательности, исключая конечное их число. Если последовательность сходится $=$ имеет предел, то он единственен и совпадает со всеми предельными точками последовательности.


Собственно вопросы:

Почему в случае существования пределов стационарных последовательностей в любом дискретном пространстве, мы можем говорить о том, что предельная точка последовательности является предельной точкой множества? Ведь, очевидно, что существует такая выколотая окрестность предельной точки последовательности, которая не содержит других точек дискретного пространства, что говорит нам о том, что всякая точка такого пространства -- точка изолированная.


Или, моя гипотеза, тут штука в том, что всякий предел стационарной последовательности в дискретном пространстве -- строго предельная точка множества, состоящего из образов натуральных чисел. То есть, мы работаем как бы не с $\{a\}$, но с $\{a_1,\cdots, a_n,\cdots\}$.

Как соотносят понятия предельной точки множества и точки прикосновения?

Не напутал ли я ничего в разведении понятий предела последовательности и предельных точек последовательности? На какое множество нужно смотреть при разговоре о предельных точках последовательности: на множество образов натуральных чисел, на множество элементов последовательности или на точки всего пространства, в котором последовательность живёт?

[mihaild]

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

предельная точка последовательности является предельной точкой множества?

Какого множества?
В дискретной топологии действительно никакая точка не является предельной ни для какого множества.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Строго предельная точка множества -- точка, любая выколотая окрестность которой имеет бесконечное пересечение с множеством, элементом которого является рассматриваемая точка. То есть, предел последовательности и её предельные точки -- строго предельные точки.

Непонятно, как фраза после "то есть" следует из предыдущей.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

предел стационарной последовательности в дискретном пространстве -- строго предельная точка множества, состоящего из образов натуральных чисел

Образ натуральных чисел относительно стационарной последовательности - это одноэлементное множество. У него в хаусдорфовой (и в частности в дискретной) топологии не может быть предельных точек.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

На какое множество нужно смотреть при разговоре о предельных точках последовательности: на множество образов натуральных чисел, на множество элементов последовательности или на точки всего пространства, в котором последовательность живёт?

Ну давайте посмотрим:
-бывают последовательности с одинаковыми образами, но разными множествами предельных точек
-предельная точка последовательности не обязана входить в нее
-но, конечно, обязана входит в само пространство.

Честно говоря, у меня большое подозрение, что либо я чего-то в ваших вопросах не понимаю, либо вы спрашиваете не то, что хотите.

[Slav-27]

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Предельная точка множества -- любая выколотая окрестность которой имеет непустое пересечение с множеством, элементом которого оно является.

Предельная точка подпространства $S$ топологического пространства $M$ -- это точка $M$, любая выколотая окрестность которой имеет непустое пересечение с $S$.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Замыкание множества определяется как множество, которое содержит все предельные точки множества, замыкание которого мы берём.

Замыкание подпространства $S$ пространства $M$ определяется как подпространство $M$, которое состоит из всех точек $S$ и всех его предельных точек.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Также я встречал такое определение: предельными точками подмножества $S\subset M$ являются такие точки $p$, что $\{p\in M \mid \exist \{x_n\} \in S x_n \rightarrow p\}$.

Видимо, имеется в виду следующее: точка $M$ называется предельной точкой $S$, если к ней сходится некоторая последовательность точек $S$. Это определение не эквивалентно предыдущему! Оно сильнее.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Очевидно, что из этого определения следует первое.

Да, но не наоборот.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Множество $S$ называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Да.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Строго предельная точка -- точка, любая выколотая окрестность которой имеет бесконечное пересечение с множеством, элементом которого является рассматриваемая точка.

Никогда такого понятия не встречал. Ну допустим.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

То есть, предел последовательности и её предельные точки -- строго предельные точки.

Нет, вообще говоря.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Изолированная точка множества -- точка, у которой существует такая выколотая окрестность, что её пересечение с множеством, элементом которого является рассматриваемая точка, пусто.

Да. (Изолированная точка $S$ обязана содержаться в $S$, в отличие от предельной точки!)

Точки прикосновения $S$ -- это точки его замыкания. Их можно разделить на 3 класса: 1) изолированные точки $S$, 2) предельные точки $S$, содержащиеся в $S$, 3) предельные точки $S$, не содержащиеся в $S$.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

точка является точкой прикосновения множества тогда и только тогда, когда существует сходящаяся к этой точке направленность элементов этого множества.

Да.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Я думаю, что можно говорить о последовательности

Нет, в предыдущем утверждении нельзя заменить "направленность" на "последовательность" -- см. выше.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Собственно, про выколотость тут нет и слова, так что получается, что элемент стационарной последовательности, например, является точкой прикосновения множества значений последовательности. Или, что всякая изолированная точка множества -- точка прикосновения, так как, очевидно, что любая окрестность будет пересекаться с множеством, элементом которого является изолированная точка, по этой самой точке.

Да: любая точка $S$ является его точкой прикосновения (либо изолированной, либо предельной).

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Также, всякая точка прикосновения -- предельная точка множества.

Нет: бывают ещё изолированные.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Граничная точка -- такая точка множества, что любая её выколотая окрестность содержит как точки, которые принадлежат нашему множеству, так и те точки, которые принадлежат объемлющему множеству.

Граничная точка $S$ -- это такая точка $M$, в любой окрестности которой есть точки как из $S$, так и не из $S$.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Внутренняя точка -- такая точка множества, что существует некоторая окрестность, которая содержится полностью в том множестве, элементом которого является рассматриваемая точка.

Да.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Всякая внутренняя точка является предельной?

Нет.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Предельная точка последовательности точек -- точка, любая окрестность которой имеет бесконечное пересечение с множеством элементов последовательности.

Предельная точка последовательности $x_n$ -- это точка, для любой окрестности $U$ которой множество $n$, таких что $x_n$ содержится в $U$, бесконечно. Предельная точка последовательности может не быть предельной точкой подпространства, образованного всеми элементами последовательности.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Предельных точек может быть много, если последовательность несходящаяся.

Да.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Предел последовательности точек -- такая точка, любая окрестность которой содержит все элементы последовательности, исключая конечное их число.

Предел последовательности $x_n$ -- это точка, для любой окрестности $U$ которой множество $n$, таких что $x_n$ не содержится в $U$, конечно.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Если последовательность сходится $=$ имеет предел, то он единственен

Да, если пространство хаусдорфово.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

и совпадает со всеми предельными точками последовательности

...которых в таком случае имеется ровно одна: этот самый предел.

Надеюсь, на ваши вопросы вы теперь можете ответить сами.

-- 06.10.2018, 04:15 --

Сходимость направленностей полностью определяет топологию: если вы про любую направленность знаете, сходится она или нет, и если сходится, то куда, -- то вы про любое множество знаете, открыто оно или нет. (И наоборот.)

Для последовательностей аналогичное утверждение неверно. Но если вы рассматриваете только подпространства пространств $\mathbb R^n$, то верно: там любое подпространство замкнуто тогда и только тогда, когда секвенциально замкнуто.

[Returning0fficer]

То есть, резюмируя, можно сказать, что всякая точка подпространства -- точка прикосновения? Предельные точки, не содержащиеся в подпространстве, содержатся в его замыкании. То есть, если подпространство было открыто, то все такие точки -- граничные точки. Если же подпространство замкнуто, то оно содержит все свои предельные точки по определению. Всякая внутренняя точка -- точка прикосновения. Если подпространство открыто, то всякая его точка внутренняя -- она может быть как изолированной, так предельной точкой, содержащейся в подпространстве.



Предельная точка подпространства -- точка в подпространстве $S\subset \mathbb{N}\times X$, где $X$ -- $(X,\Omega)$ такое, что образ последовательности лежит в нём?

В топологических пространствах с аксиомами $T_0$ и $T_1$, но без аксиомы $T_2$, у сходящейся последовательности может быть несколько предельных точек в подпространстве, которое она образует?

[Someone]

Returning0fficer в сообщении #1343923 писал(а):

Предельная точка подпространства -- точка в подпространстве $S\subset \mathbb{N}\times X$

Чушь какая-то. Какого подпространства и в каком пространстве? Откуда взялось $\mathbb N$?

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Замыкание множества определяется как множество, которое содержит все предельные точки множества, замыкание которого мы берём.

Нет. Посмотрите в учебнике точное определение.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

предельными точками подмножества $S\subset M$ являются такие точки $p$, что $\{p\in M \mid \exist \{x_n\} \in S x_n \rightarrow p\}$

Написана какая-то бессмыслица.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Множество $S$ называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Что очевидно следует из того, что оно является дополнением некоторого открытого множества и наоборот.

У Вас действительно полная каша в голове. Если первая фраза у Вас является определением, то она ниоткуда не следует. Это просто определение. Нужно аккуратно различать определения и вытекающие из них утверждения(например, "подмножество топологического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение в этом пространстве открыто"). И всё формулировать очень аккуратно, не перевирая учебник.

Дальше комментировать не буду.

[Returning0fficer]

Someone в сообщении #1343933 писал(а):

Returning0fficer в сообщении #1343923 писал(а):

Предельная точка подпространства -- точка в подпространстве $S\subset \mathbb{N}\times X$

Чушь какая-то. Какого подпространства и в каком пространстве? Откуда взялось $\mathbb N$?
Это я пытался так проиндексированные элементы обозначить: пары индекс-точка пространства

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Замыкание множества определяется как множество, которое содержит все предельные точки множества, замыкание которого мы берём.

Нет. Посмотрите в учебнике точное определение.

Замыкание множества -- пересечение всех замкнутых множеств, содержащих наше множество. Но разве из этого не следует то, что я написал?

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

предельными точками подмножества $S\subset M$ являются такие точки $p$, что $\{p\in M \mid \exist \{x_n\} \in S x_n \rightarrow p\}$

Написана какая-то бессмыслица.

Почему? Просто написано то, что к предельной точке сходится какая-то последовательность элементов пространства.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Множество $S$ называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Что очевидно следует из того, что оно является дополнением некоторого открытого множества и наоборот.

У Вас действительно полная каша в голове. Если первая фраза у Вас является определением, то она ниоткуда не следует. Это просто определение. Нужно аккуратно различать определения и вытекающие из них утверждения(например, "подмножество топологического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение в этом пространстве открыто"). И всё формулировать очень аккуратно, не перевирая учебник.

Не понял. Это следует из определения замкнутого множества, как дополнения открытого. Что не так?

Дальше комментировать не буду.

[Someone]

У Вас полное безобразие с цитированием получилось.
Во-первых, цитировать нужно только тот фрагмент, на который Вы отвечаете. Для этого нужно выделить нужный фрагмент сообщения и в нижней части именно этого сообщения щёлкнуть по кнопке "Вставка". Если нажмёте на кнопку в конце другого сообщения, цитата появится, но с неправильной ссылкой.
Во-вторых, свой ответ нужно писать не внутри цитаты, а после неё.
В противном случае можно столкнуться с санкциями модератора.

Returning0fficer в сообщении #1343935 писал(а):

Это я пытался так проиндексированные элементы обозначить: пары индекс-точка пространства

Вы хотите сказать, что "точка" и "пара индекс-точка" — это одно и то же?

Returning0fficer в сообщении #1343935 писал(а):

Замыкание множества -- пересечение всех замкнутых множеств, содержащих наше множество.

Это — одно из часто встречающихся определений замыкания множества в топологическом пространстве. Но вот это

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

Замыкание множества определяется как множество, которое содержит все предельные точки множества, замыкание которого мы берём.

вообще не является определением замыкания. Никаким. Ни часто встречающимся, ни редко встречающимся. И было бы очень хорошо, если бы Вы разобрались, почему.

Returning0fficer в сообщении #1343935 писал(а):

Почему? Просто написано то, что к предельной точке сходится какая-то последовательность элементов пространства.

Ничего подобного там не написано. Там написана бессмысленная последовательность символов. Кроме того, если речь идёт об общих топологических пространствах, то никакой сходящейся последовательности может и не быть.

Returning0fficer в сообщении #1343935 писал(а):

Это следует из определения замкнутого множества, как дополнения открытого. Что не так?

Всё не так. Если Вы хотите сказать, что два определения замкнутого множества эквивалентны, то правильно будет так: сформулировать оба определения (не кучей, а каждое как отдельное определение) и потом сформулировать утверждение об их эквивалентности (тоже отдельно, а не в куче с одним из определений).

Раз у Вас такая каша, то могу посоветовать только одно: заучивать правильные формулировки наизусть и воспроизводить их, не отклоняясь ни на один символ. Пока не привыкнете и не поймёте, как надо писать математические тексты. Постепенно каша исчезнет.

[Returning0fficer]

Someone

Я лишь хочу сказать, что элемент последовательности -- не просто точка пространства, но элемент проиндексированного подмножества элементов пространства. Почему бы не обозначить последовательность как подмножество $\mathbb{N}\times X$, состоящее из элементов вида: $(a,n)$, где $a\in X$, а $n\in \mathbb{N}$. По сути, это просто график функции $f: \mathbb{N} \rightarrow X$. Зачем я это сделал? Чтобы нагляднее разводить элементы пространства, служащие образами последовательности и собственно элементы последовательности, для которых мы ищем предельные точки и предел.


Да, с замыканием погорячился: забыл про изолированные точки. Корректно было бы сказать, что замыканием множества $S$ будет такое множество $Cl(S)$, которое содержит все точки прикосновения нашего множества $S$.


Там написано следующее: предельными точками $p$ подмножества $S$ топ.пространства $(X,\Omega)$ называется такое множество точек пространства $(X,\Omega)$, что существует некоторая последовательность точек подмножества $S$, которую мы обозначим как $\{x_n\}$, которая сходится к точке $p$.


Зачем мне писать два определения и утверждение их связывающее, если я их знаю и мне они в этом случае не интересны?

[Someone]

Returning0fficer в сообщении #1343950 писал(а):

По сути, это просто график функции $f: \mathbb{N} \rightarrow X$.

Так и есть.
Кстати, вместо двоеточия тут лучше писать \colon ($f\colon\mathbb N\to X$).

Returning0fficer в сообщении #1343950 писал(а):

Я лишь хочу сказать, что элемент последовательности -- не просто точка пространства, но элемент проиндексированного подмножества элементов пространства. Почему бы не обозначить последовательность как подмножество $\mathbb{N}\times X$, состоящее из элементов вида: $(a,n)$, где $a\in X$, а $n\in \mathbb{N}$.

В стандартных обозначениях — $(n,a)$.

Returning0fficer в сообщении #1343950 писал(а):

Зачем я это сделал? Чтобы нагляднее разводить элементы пространства, служащие образами последовательности и собственно элементы последовательности, для которых мы ищем предельные точки и предел.

А зачем Вам, собственно, элементы последовательности? Если $x\colon\mathbb N\to X$ — последовательность, то $x_n$ — это член последовательности, то есть, значение функции $x$ в точке $n\in\mathbb N$, то есть, элемент пространства $X$ (в стандартных обозначениях). Все интересные определения даются в терминах не элементов последовательности $x$ (то есть, упорядоченных пар $(n,x_n)$), а в терминах её значений $x_n$, которые являются элементами $X$.

Returning0fficer в сообщении #1343918 писал(а):

предельными точками подмножества $S\subset M$ являются такие точки $p$, что $\{p\in M \mid \exist \{x_n\} \in S x_n \rightarrow p\}$.

Ну давайте разберёмся в том, что Вы написали. Предполагается, что есть топологическое пространство $M$ и его подмножество $S$. Формула набрана с опечаткой, и хотели Вы написать $\{p\in M\mid\exists\{x_n\}\in S x_n\rightarrow p\}$.
Во первых, Вы говорите об определении предельной точки множества $S$ в пространстве $M$, но конструкция $\{p\in M\ldots\}$ определяет не точку $p\in M$ и не свойство точки $p$, а некоторое подмножество множества $M$.
Во-вторых, если даже не придираться к необычному синтаксису $\exists\{x_n\}\in S$ (было бы лучше сказать словами "существует последовательность $x_n$, $n\in\mathbb N$, точек множества $S$, сходящаяся к точке $p$"), то в стандартных обозначениях $\{x_n:n\in\mathbb N\}$ обозначает не последовательность, а её образ, то есть, просто некоторое подмножество множества $S$, если предполагается что все $x_n\in S$. И вряд ли это подмножество является заодно и элементом множества $S$. (Нет, я, конечно, понимаю, что произвольное множество можно расширить до такого множества, которое содержит в качестве элементов также и все свои не более чем счётные подмножества, но сможете ли Вы придумать способ построения этого расширения? И уж, конечно, это расширение не имеет ни малейшего отношения к определению предельной точки.) Поэтому формула $\{x_n\}\in S$ в нормальных случаях (например, для подмножеств числовой прямой) будет всегда ложной, и никаких "предельных точек" в вашем смысле не будет.
В-третьих, как я уже говорил, в общих топологических пространствах такое определение предельной точки (со сходящейся последовательностью) может быть несостоятельным, поскольку сходящихся последовательностей может оказаться слишком мало. Пространства, в которых для каждой предельной точки множества $S$ существует сходящаяся к ней последовательность элементов $S$, называются пространствами Фреше—Урысона.

Returning0fficer в сообщении #1343950 писал(а):

Да, с замыканием погорячился: забыл про изолированные точки.

Нет, дело вовсе не только в изолированных точках. В частности, это

Returning0fficer в сообщении #1343950 писал(а):

замыканием множества $S$ будет такое множество $Cl(S)$, которое содержит все точки прикосновения нашего множества $S$

тоже неправильно. Вы всё-таки посмотрите правильное определение в учебнике. И не пропускайте в нём ни одного слова.

Returning0fficer в сообщении #1343950 писал(а):

Там написано следующее: предельными точками $p$ подмножества $S$ топ.пространства $(X,\Omega)$ называется такое множество точек пространства $(X,\Omega)$, что существует некоторая последовательность точек подмножества $S$, которую мы обозначим как $\{x_n\}$, которая сходится к точке $p$.

Откуда эта цитата? Каким учебником Вы пользуетесь?

[Returning0fficer]

Someone

Про члены и элементы последовательности я спросил лишь для того, чтобы развести их в своей голове. До этого обсуждения этого разделения в моей голове не существовало.


Теоретикомножественный вопрос: разве определить свойство и выбрать некоторое подмножество -- не одно и то же?

Я хотел определить некоторое подмножество пространства $M$, как множество предельных точек $S$. То есть, $\{p\in M\mid\cdots\}$ -- подмножество пространства $M$, которое состоит из всех таких точек пространства, что они являются предельными для подмножества $S$.


Хорошо, то есть $\{x_n\}\subset S$ -- не $\{s(n)\}$, где $s \colon \mathbb{N} \rightarrow S$. То есть, для ясности, у нас сейчас есть множество образов -- точки $S$, множество элементов последовательности -- точки в $\mathbb{N}\times S$и множество её членов -- точки вида $s(n)$ в ... где они точки? В самой последовательности?


И как мне корректно обозначать саму последовательность? Во всех стандартных учебниках по анализу она записывалась как $\{x_n\}$?

Про пространства Фреше-Урысона не слышал, простите.




Я понял, в чем косяк: оно не просто содержит все точки прикосновения, но состоит только из них.

[Someone]

Returning0fficer в сообщении #1344086 писал(а):

Теоретикомножественный вопрос: разве определить свойство и выбрать некоторое подмножество -- не одно и то же?

Нет, конечно.
Совокупность объектов, обладающих некоторым свойством, вовсе не обязана быть множеством. Для таких совокупностей обычно используется термин "класс"; множество считается частным случаем класса. Класс, который не является множеством, иногда называется собственным классом. Различие между множествами и собственными классами состоит в том, что множество является элементом какого-нибудь класса, а собственный класс — нет. Обычно свойства отождествляются с классами.
Класс, который является подклассом множества, и сам является множеством (аксиома выделения).

Returning0fficer в сообщении #1344086 писал(а):

Я хотел определить некоторое подмножество пространства $M$, как множество предельных точек $S$. То есть, $\{p\in M\mid\cdots\}$ -- подмножество пространства $M$, которое состоит из всех таких точек пространства, что они являются предельными для подмножества $S$.

Ну, если Вам такое множество нужно, кто же может Вам запретить его определять.
Однако употреблять это множество вместо термина "предельная точка" будет неудобно и труднопонимаемо для людей.
Вы должны понимать, что определения и сокращения — это расширения языка, назначение которых — делать текст более кратким и более понятным.
Избыток формальных обозначений плохо сочетается с понятностью. Формальный язык теории множеств надо осваивать, но не надо писать на нём всё подряд.

Returning0fficer в сообщении #1344086 писал(а):

И как мне корректно обозначать саму последовательность? Во всех стандартных учебниках по анализу она записывалась как $\{x_n\}$?

Ну да, такие обозначения используются (у Кудрявцева, например). Фихтенгольц пишет просто $x_n$. Я и сам подобные обозначения использую. Например, что-нибудь типа $\{A_t:t\in T\}$, подразумевая под этим индексированное семейство, то есть, фактически, функцию из множества $T$ куда-то (в какое-то множество или даже класс; по аксиоме подстановки совокупность значений такой функции является множеством). В некоторых случаях такие индексированные множества удобны, например, если я хочу рассмотреть произведение $\prod\limits_{t\in T}A_t$ или объединение $\bigcup\limits_{t\in T}A_t$, но теоретико-множественные операции с ними непонятно как производить (я имею в виду, например, объединение именно индексированных множеств, чтобы в результате получилось снова индексированное множество, а не объединение множеств их значений).
В принципе Вы можете обозначать последовательности как хотите, только не забывайте определять своё обозначение, но Вы в любом случае должны отличать последовательность от множества её значений.

Returning0fficer в сообщении #1344086 писал(а):

Про пространства Фреше-Урысона не слышал, простите.

Не вижу причин для извинений. Понятно, что Вы только начали изучать общую топологию, и если предполагается не просто знакомство с ней, а серьёзное изучение, то у Вас ещё всё впереди.

Но Вы так и не написали, по какому учебнику Вы изучаете теорию множеств и общую топологию. Или по конспекту лекций изучаете? Интересно также знать, где Вы учитесь. От этого зависит, что и как Вам отвечать на ваши вопросы.

Returning0fficer в сообщении #1344086 писал(а):

Я понял, в чем косяк: оно не просто содержит все точки прикосновения, но состоит только из них.

Совершенно верно.

[Returning0fficer]

Someone
Я учусь в МГУ, топологию изучаю преимущественно по книжке Виро и конспектам Сосинского. Ещё пытаюсь читать Хатчера. А, ещё недавно открыл для себя труд Энгелькинга

Я всё ещё не очень понимаю, как мне разводить формально точки графика $G_f \subset \mathbb{N} \times X$, где $f\colon \mathbb{N} \rightarrow X$, то есть, множество точек $\{(n,x)\}$ -- элементы последовательности $\{x_n\}$ и множество $\{f(n)\}$ членов последовательности и множество образов точек $n\in \mathbb{N}$ -- $S\subset X$? Вы пишите, что члены последовательности -- элементы пространства $X$ и что все определения даются в терминах членов последовательности. Но я никак не могу уловить формализм, который бы позволил мне различать образы элементов индексирующего множества и члены последовательности -- и те, и те являются элементами пространства $X$. Но если я прибегаю к индексам, чтобы различать эти точки, то разве я не перехожу к работе с элементами последовательности (точками графика)?

[SomePupil]

Returning0fficer, мне кажется, вы уже всё поняли. Непонятно, зачем дальше "улавливать формализм". Не в смысле того, что то, что вы делаете $-$ непонятно, а в смысле принципиально непонятно как этот формализм дальше улавливается. Может, и ловить-то там нечего, ась? Как думаете?

[Someone]

Returning0fficer в сообщении #1344325 писал(а):

Я всё ещё не очень понимаю, как мне разводить формально точки графика $G_f \subset \mathbb{N} \times X$, где $f\colon \mathbb{N} \rightarrow X$, то есть, множество точек $\{(n,x)\}$ -- элементы последовательности $\{x_n\}$ и множество $\{f(n)\}$ членов последовательности и множество образов точек $n\in \mathbb{N}$ -- $S\subset X$?

Как обычно для функций (отображений). Последовательность $a\colon\mathbb N\to X$ — это множество $\{(n,a_n):n\in\mathbb N\}$. А множество членов последовательности (образ) — это множество $\{a_n:n\in\mathbb N\}$.

(Returning0fficer)

Returning0fficer в сообщении #1344325 писал(а):

Я учусь в МГУ

Третий курс, раз начали изучать общую топологию? Кафедра общей топологии и геометрии?