Кубик не Рубик 2х2

[ishhan]

Возьмём 8 единичных кубиков.
На каждом кубике три грани имеющие общую вершину раскрасим в черный и белый цвет так, что на всех восьми кубиках общее количество черных и белых граней будет одинаковым и равно 12. Всего я насчитал 7 вариантов раскраски, например:
1-ый вариант
ЧЧЧ
ЧЧЧ
ЧЧЧ
ЧЧЧ
БББ
БББ
БББ
БББ
2-ой вариант
ЧЧБ
ЧЧБ
ЧЧБ
ЧЧБ
ББЧ
ББЧ
ББЧ
ББЧ
и т. д.
Сложим из них кубик 2х2 так, что все окрашенные в черный и белый цвет грани будут внутри кубика.
При этом каждая черная грань должна накрывать белую и наоборот.
Белая грань не может накрывать белую и соответственно чёрная не может накрывать черную грань.
Остальные грани пометим каким либо образом, так что бы можно было отличить такие различные сборки куба 2х2 друг от друга.

Требуется найти вариант раскраски, который даст наибольшее количество способов сборки кубика по этим правилам, а так же посчитать количество способов сборки для каждого варианта.

[arseniiv]

ishhan в сообщении #1343821 писал(а):

Требуется найти вариант раскраски, который даст наибольшее количество способов сборки кубика по этим правилам

Если правильно понял, то просто сделать три наружные грани каждого кубика прозрачными, чтобы было видно внутренние. Или продублировать цвета внутренних на противоположных им внешних. В любом случае проверять, в каких местах собрано неправильно, трудно, но неясно, как это можно было бы облегчить методом раскраски, забывающим цвета внутренних граней или таким, который добавляет к этим цветам ещё какую-то лишнюю информацию.

[ishhan]

arseniiv

Добавим немного физики, и пусть, как Вы предлагаете, кубик будет прозрачным, черное заменим на синее прозрачное, а белое на желтое прозрачное.
Заметим, что он собирается из единичных и не содержит шарниров.
Мы легко можем разъединить его пополам в одной из трёх перпендикулярных плоскостей и посмотреть, что внутри в плоскости разреза.
Тогда, если правила касания граней выполняются, то кубик станет зелёным, так как синий и желтый дадут зеленый.
Вдобавок, пусть грани разного цвета притягиваются, а одинаковые отталкиваются.
Если правила соприкосновения граней внутри кубика выполнены, то единичные кубики притянутся друг к другу и кубик 2х2 не потеряет правильную форму, благодаря отталкиванию, и станет на просвет зелёным, как не крути)
Три наружные грани каждого из восьми кубиков, представляющие собой квадраты, можно пометить символами, не имеющими поворотной оси симметрии четвертого порядка.
Теперь, благодаря тому, что грани притягиваются, собираем кубик из единичных, как получится, и когда он соберется в устойчивый куб 2х2 или станет полностью одного цвета, наносим на развертку его внешних граней символы соответствующие этой сборке и считаем варианты.
Уф, надеюсь стало более понятно.

[arseniiv]

Аа, просто посчитать количество вариантов! Спасибо, ясно.

-- Пт окт 05, 2018 23:48:34 --

Нет, не ясно. Не понял, чем именно являются варианты. Наверно, мы всё-таки сначала нанесём на маленькие кубики символы один раз и на всю жизнь, а уже потом будем считать развёртки? Поворотами куба, видимо, надо пренебречь? А отражениями?

-- Пт окт 05, 2018 23:55:06 --

Обозначим цвета граней кубиков $0, 1$. Для некоторых наборов типа $000\times 4, 111\times 4$ считать, конечно, выходит просто: есть только один способ составить куб с точностью до замены однотипных кубиков и их поворотов. Это $2\cdot 3^8$, если допускать повороты, но не отражения. А вы хотите охватить сразу все конфигурации каким-то одним методом?

[ishhan]

Придется делать модель из 8 кубиков и 24 магнитов. Клеить на грани тонкие аксиально намагниченные диски, потом играть в кубики

-- Пт окт 05, 2018 22:55:25 --

arseniiv в сообщении #1343893 писал(а):

есть только один способ составить куб с точностью до замены однотипных кубиков и их поворотов. Это $2\cdot 3^8$, если допускать повороты, но не отражения.

А сюда входят запрещённые варианты?
Рассматривать нужно только число различных разверток внешних граней для каждого из 7 вариантов , типа

$111\times3,000\times3,110\times1,100\times1$, когда куб складывается без конфликтов соседних кубиков т.е. с нарушением правил или можно сказать что нет соседних граней которые отталкиваются.

[arseniiv]

ishhan в сообщении #1343898 писал(а):

А сюда входят запрещённые варианты?

Не. Но я недосчитался конфигураций, учтя только расположение кубиков 000 (они должны стоять в вершинах тетраэдра, и есть только два тетраэдра с помеченными вершинами с точностью до поворотов, являющиеся отражениями друг друга), но забыв про 111 — вместо двойки должен быть множитель побольше.

[ishhan]

Пошел по самому лёгкому пути, взял случай $000\times 4, 111\times 4$



Внешние противоположные грани кубика 2х2 обозначил одинаковыми символами, крестик, точка, пусто (без маркировки).
При этом варианте раскраски внутренних граней и соблюдении правил соседства, любой кубик можно крутить по и против часовой стрелки, можно переставлять на гранях диагональные кубики с поворотами.
Или, как Вы отметили, можно переставлять и крутить кубики на двух зеркальных тетраэдрах
Но, нельзя с одного тетраэдра переставить на другой.
На рисунке развертка для двух случаев устойчивой сборки.
Одинаковым цветом выделил грани единичных кубиков, накрывающие друг друга на верхнем и нижнем слое.
Остается сосчитать число сборок для этого варианта раскраски, соблюдения правил соседства и маркировки внешних граней.

[arseniiv]

Но если развёртки разные, варианты тоже считаются разными, даже если это повороты одного и того же большого куба? Так и не понял. А то мне лично развёртки никак не помогают.

Кстати, эта ваша задача обобщается на любое количество измерений — можно рассмотреть квадрат, составленный из четырёх квадратиков, две смежные стороны которых «заряжены». Можно видеть, что если не учитывать движения большого квадрата, всё просто: во-первых, расставляем «дипольные моменты» в четырёх прикосновениях кубиков и, во-вторых, маркируем свободные стороны. С учётом поворотов, конечно, похуже, как обычно.

-- Сб окт 06, 2018 20:54:04 --

arseniiv в сообщении #1344008 писал(а):

А то мне лично развёртки никак не помогают.

А вот что могло бы помочь — так это заменить прикосновения кубов рёбрами, проведёнными между их центрами. Получается такой проволочный куб с направленными рёбрами, его и представлять удобно.

[ishhan]

arseniiv в сообщении #1344008 писал(а):

Но если развёртки разные, варианты тоже считаются разными, даже если это повороты одного и того же большого куба? Так и не понял. А то мне лично развёртки никак не помогают.

Вариантом я считал один из семи наборов типа $110\times 4, 100\times 4$
каждый из которых состоит из восьми элементов выбранных из четырёх возможных:
$111$
$110$
$100$
$000$
Так что общее число нулей равно числу единиц.
А мне показалась интересным рассмотрение разверток двух тетраэдров из которых, как и из двух граней, складывается куб 2х2.


В каждой развертке присутствует четвёртый куб, так что бы соблюдались правила соседства граней, но его не видно :(
В способе№2, варианта $110\times5,100\times2,000\times1$,левый тетраэдр собран из тех же кубиков, что и левый тетраэдр способа №1 этого же варианта.
Таким образом варианту $111\times 4, 000\times 4$ соответствует только один способ сборки, а для варианта $110\times5,100\times2,000\times1$ я нашёл уже два способа сборки.
Именно этот момент я и хотел обозначить с самого начала.

-- Вс окт 07, 2018 11:59:12 --

arseniiv в сообщении #1344008 писал(а):

Получается такой проволочный куб с направленными рёбрами, его и представлять удобно.

Пока не пробовал, долго возился с тетраэдрами, буду разбираться.
Предполагаю, что для варианта с тремя элементами $000$, $110$, $100$ способов сборки будет больше чем два.
Всё это чем-то напоминает химию)