Полное гиперболическое уравнение

[DLL]

Подзабыл факт из теории УРЧП. Допустим у нас есть полное гиперболическое уравнение для $u(x,t)$

$$u_{tt} - u_{xx} + a(x,t) u_t + b(x,t) u_x + c(x,t) u = F(x,t),$$

со стандартными граничными условиями $u(0,t)=u(l,t)=0$ и начальными условиями $u(x,0) = u_0(x), u_t(x,0) = u_1(x)$.

Как доказывается корректная разрешимость такого уравнения?
Для главной части мне понятно как доказать.
Функции a(x,t), b(x,t), c(x,t) бесконечно гладкие. Этого достаточно?

[thething]

Ещё нужно $a(x,t)>0$, $c(x,t)>0$ (по крайней мере, исходя из физического смысла).

[DLL]

Вот этот момент кстати мне интересен. Действительно ли надо это требовать для корректной разрешимости?

[Red_Herring]

thething в сообщении #1343968 писал(а):

Ещё нужно $a(x,t)>0$, $c(x,t)>0$ (по крайней мере, исходя из физического смысла).

$a(x,t)\ge 0$ не нужно с математической точки зрения (если не желать оценки, равномерной по $t\in [0,\infty]$. А вместо $c(x,t)\ge 0$ даже физически неоправданно (напр. вращающаяся струна)

И если говорить об $L^2$ оценке, то следует заменить $c$ на $c+\frac{1}{2}b_x$

[thething]

Да, о вращающейся струне не подумал, подумал о телеграфном уравнении.

[DLL]

Red_Herring в сообщении #1343981 писал(а):

А вместо $c(x,t)\ge 0$ даже физически неоправданно (напр. вращающаяся струна)

И если говорить об $L^2$ оценке, то следует заменить $c$ на $c+\frac{1}{2}b_x$

Не до конца понял это предложение. То есть никакие неравенства не требуются?
P.S: равномерные оценки не требуются, только на конечном интервале.
2P.S: бесконечной гладкости этих функций достаточно? а можно понять набросок док-ва, полагаю что он должен быть достаточно простым...

[pogulyat_vyshel]

DLL в сообщении #1343965 писал(а):

Как доказывается корректная разрешимость такого уравнения?

Ладыженская Краевые задачи мат физики

[DLL]

Ага, судя по главе 4, вообще ничего кроме ограниченности и гладкости коэффициентов не требуется.
Сильная женщина! Не зря же еще при жизни говорила, что "после меня все, остальное в математике, таблица умножения"