Вычисление предела

[nintendo231]

Вот такой вот пример:

$$\lim\limits_{x \to 0}^{}\frac{\cos 5x-\cos x\cos 2x}{1-\cos 2x}$$

Сам пробовал очень много разных комбинаций (раскрывал произведение косинусов, выражал их через синусы и тд), но ничего пока из этого не вышло.
Уверен, что знаменатель стоит выразить через синус:

$$\lim\limits_{x \to 0}^{}\frac{\cos 5x-\cos x\cos 2x}{2\sin^2 x}$$

Подтолкните, пожалуйста, дальше.

-- 06.10.2018, 20:54 --

Про первый замечательный предел знаю, вот только что с косинусами делать...

[Someone]

nintendo231 в сообщении #1344015 писал(а):

раскрывал произведение косинусов

Как именно?

[nintendo231]

Someone в сообщении #1344017 писал(а):

Как именно?

[gris]

Я бы привёл всё в числителе к однократному аргументу и не мучался. Там неизбежно должно посокращаться. А, ещё бы произведение косинусов поднял до 5 степени.

[nintendo231]

$$\lim\limits_{x \to 0}^{}\frac{\cos 5x-\frac{\cos x}{2}-\frac{\cos 3x}{2}}{2\sin^2x}$$

-- 06.10.2018, 21:17 --

gris в сообщении #1344021 писал(а):

Я бы привёл всё в числителе к однократному аргументу и не мучался. Там неизбежно должно посокращаться. А, ещё бы произведение косинусов поднял до 5 степени.

что это значит?

-- 06.10.2018, 21:18 --

я про однократный аргумент

[ex-math]

Попробуйте $5x=2x+3x$.

-- 06.10.2018, 20:20 --

Чтобы получить общий множитель.

[nintendo231]

ex-math в сообщении #1344024 писал(а):

Попробуйте $5x=2x+3x$.

-- 06.10.2018, 20:20 --

Чтобы получить общий множитель.

Попробую, спасибо

[gris]

Ну выразить всё через $\cos x$ и $\sin x$. Это такой чисто тригонометрический путь, возможно, не самы быстрый, но надёжный.

[gevaraweb]

Может разбить первый косинус на две половинки и применить ф-лу разность косинусов?

$$\lim\limits_{x \to 0}^{}\frac{ \frac{ \cos 5x }{2} -\frac{\cos x}{2} + \frac{ \cos 5x }{2} - \frac{\cos 3x}{2} }{2\sin^2x}$$

[Someone]

А я бы разбил $\cos 5x$ на две половинки, сгруппировал их с двумя другими косинусами и преобразовал разности косинусов в произведения. Потом всё это моментально сводится к первому замечательному пределу.

[nintendo231]

Разбил $5x$ как $2x + 3x$, далее вынес $\cos 2x$, в скобке получилось $\cos 3x - \cos x$, ее я преобразовал к произведению синусов. Затем разбил всю дробь на две части, предел считается. Сейчас аккуратно оформлю и скину решение

-- 06.10.2018, 21:44 --

Ответ: -5

-- 06.10.2018, 21:48 --

Всем огромное спасибо!

[gris]

Вот набьёшь себе в детстве голову бесполезными вещами, а потом их и не выгонишь. Просто запомнились формулы для кратных углов и вот получается
$\cos 5x-\cos x\cos2x=c^5-10c^3s^2+5cs^4-c(c^4-s^4)=-10c^3c^2+6cs^4=2s^2(-5c^3+3cs^2)$.
Но ведь это даже в качестве решения не выставишь

[TOTAL]

nintendo231 в сообщении #1344015 писал(а):

Сам пробовал очень много разных комбинаций (раскрывал произведение косинусов, выражал их через синусы и тд), но ничего пока из этого не вышло.

Попробуйте ещё ничего не пробовать, а просто все косинусы (с точностью до величин четвертого порядка) заменить на $\cos(t)=1- t^2/2$