Уравнение с Гамма функцией?

[Divergence]

Как найти решения уравнения

$$ \Gamma(2x+y)-2\Gamma^2(x+y)=0,$$

где $x>0$ и $y \in \mathbb{C}$?

Очевидно, что есть решение $x=y=1$. Единственное ли это решение?

Можно сузить задачу, добавив к приведенному уравнению еще уравнение $\Gamma(y)=1$, где $y \in \mathbb{C}$.
У системы из этих двух уравнений есть тоже решение ($x=y=1$). Единственное ли это решение?

Заранее спасибо за подсказку.

[mihiv]

Еще легко подбирается: $x=2, y=-1$.

[GAA]

Divergence в сообщении #1343916 писал(а):

Можно сузить задачу, добавив к приведенному уравнению еще уравнение $\Gamma(y)=1$, где $y \in \mathbb{C}$.

$y=2$ удовлетворяет этому условию. Тогда подставив в $f= \Gamma(2x+y)-2\Gamma^2(x+y)$ это значение, можно построить график и увидеть на нём, что имеется решение $x \approx 1.395$.

-- Sat 06.10.2018 12:41:44 --

Вообще, условию $\Gamma(y)=1$ удовлетворяют не только, $y=1$ и $y=2$, но и другие значения, которые можно найти численно, например $y \approx -3.14358$. Ну и аналогично случаю $y=2$, можно подставлять в $f$ значение $y_i$, строить график для получения промежутка, на котором корень единственный (уравнение $f(x; y_i) = 0$ имеет единственное решение), а затем одним из численных методов находить его значение.

[Divergence]

Спасибо за ответы.

Наверное, отрицательных решений уравнения $\Gamma(y)=1$ бесконечно много.
В результате и решений уравнения $ \Gamma(2x+y)-2\Gamma^2(x+y)=0,$
тоже может оказаться бесконечное счетное множество.

А комплексных решений ( $y \in \mathbb{C}$) не может быть?

[mihaild]

При достаточно больших $x$ и $y = 0$ левая часть больше нуля. При любом фиксированном $x$ и достаточно больших $y$ правая часть больше нуля. Следовательно, при любом достаточно большом фиксированном $x$ первое уравнение имеет решение.

Divergence в сообщении #1344064 писал(а):

отрицательных решений уравнения $\Gamma(y)=1$ бесконечно много

Ну да. $\Gamma(-k + c) = \frac{\Gamma(1 + c)}{(-k + c) \cdot (-k + c - 1) \cdot \ldots \cdot c}$. При четных $k$ числитель и знаменатель положительны. Знаменатель ограничен и отделен от нуля, числитель при фиксированном $c$, близком к $0$, не отделен от $0$ - так что вся дробь может быть сколь угодно большой. При $c = \frac{1}{2}$ и достаточно больших $k$ числитель может быть сколь угодно велик - так что вся дробь может быть меньше $1$. Таким образом, на каждом интервале $(-2n; -2n + 1)$ есть хотя бы один корень уравнения $\Gamma(y) = 1$.
UPD: выше читать "числитель" как "знаменатель", а "знаменатель" как "числитель".

[Divergence]

mihaild в сообщении #1344077 писал(а):

При достаточно больших $x$ и $y = 0$ левая часть больше нуля. При любом фиксированном $x$ и достаточно больших $y$ правая часть больше нуля. Следовательно, при любом достаточно большом фиксированном $x$ первое уравнение имеет решение.

Спасибо за ответ, но не понял ваше обоснование.
Левая это $ \Gamma(2x+y)$, a правая - $2\Gamma^2(x+y)$?
Левая это $ \Gamma(2x)>0$ при $x>0$, a правая - $2\Gamma^2(x+y) \ge 0$ всегда, так как там квадрат.
Наверно стоит говорить об возрастании (и темпах роста) этих частей, а не положительности?

[mihaild]

Divergence в сообщении #1344080 писал(а):

Левая это $ \Gamma(2x+y)$, a правая - $2\Gamma^2(x+y)$?

Нет, левая часть это $\Gamma(2x + y) - 2\Gamma^2(x + y)$.
И вместо

mihaild в сообщении #1344077 писал(а):

При любом фиксированном $x$ и достаточно больших $y$ правая часть больше нуля

должно быть "При любом фиксированном $x$ и достаточно больших $y$ левая часть меньше нуля"

[Divergence]

Спасибо.

А комплексных решений ($y \in \mathbb{C}$) не может быть?

[amon]

Divergence в сообщении #1343916 писал(а):

Как найти решения уравнения $ \Gamma(2x+y)-2\Gamma^2(x+y)=0$

Назовем $x+y$ буквой $z.$ Тогда $\Gamma(2z-y)-2\Gamma^2(z)=0.$ Если на $y$ нет никаких условий, то уравнение сведется к $\Gamma(w)=2\Gamma^2(z),$ где $w=2x+y$ - независимая переменная. В этом случае мне кажется, что решение (и не одно) будет при любом, скажем, $z.$ Если наложено условие $\Gamma(y)=1,$ то все сводится к исследованию корней функции $\Gamma(2z-y_n)-2\Gamma^2(z)$ ($y_n$ - n-й корень уравнения $\Gamma(y)=1$).

[mihaild]

amon в сообщении #1344085 писал(а):

Если на $y$ нет никаких условий, то уравнение сведется к $\Gamma(w)=2\Gamma^2(z),$ где $w=2x+y$ - независимая переменная

Судя по $x > 0$ есть ограничение $\operatorname{Im}x = 0$ и соответственно $\operatorname{Im}z = -\operatorname{Im}w$.