Чтобы не быть голословным, вот Вам сказочка. Многие на этом форуме сходу могут написать десять таких же. Вы тоже сможете со временем. Это случится, когда Вы узнаете смысл всех использованных здесь терминов. Какие-то из них Вы будете проходить на младших курсах, а что-то сами погуглите. Не сейчас, сейчас оно Вам не надо.
В некотором классе, в некоторой категории жил морфизм по прозвищу Стрелка. Категория была большая, а таких как он в ней было не то чтобы множество.
И вот то ли ему гауссиана на хвосте принесла, а то ли отображение было. Узнал он, что живёт на свете красавица Формальная Теория. Томится она в плену у злого волшебника Вывода и все делает по его правилам. День деньской, бедняжка, символы местами переставляет, да и алфавит-то конечен, а что поделать?
- Эх, - решил Стрелка. - Или выручу ее, или не выручу, а третьего не дано.
- Ой, - покачали головой другие морфизмы. - Неразрешимое множество проблем ты себе придумал и даже не перечислимое. Кривая дорожка тебя ждет.
- Ничего, - улыбнулся Стрелка. - Хоть и кривая, но гладкая, по крайней мере, кусочно.
И пошел Стрелка вдоль по числовой оси. Смотрит - функция Дирихле сидит и плачет.
- О чем ты, функция, плачешь? - спрашивает Стрелка.
- Плачу я, ибо мне стыдно, какая я ограниченная. Приходили ко мне разные числа одно другого краше: и совершенные, и дружественные, и все говорят, что я для них нуль.
- Экие они рациональные, - удивился Стрелка. Ну, это ещё не вся действительность. Посмотри на себя, ты же почти всюду единица!
Обрадовалась функция Дирихле.
- Садись, - говорит, - мне на спину, я тебя повезу.
Поскакали они. Скачут-скачут, просто разрываются. Ни предела этому, ни даже наименьшего периода. Скоро большие числа умножаются, нескоро на простые множители раскладываются.
Доскакали до параболы
. Смотрят: высоко ветви вздымаются, выше любого числа в любой степени.
- Ну, - говорит функция Дирихле, - давай прощаться. Не имею я так высоко никакого значения.
Полез Стрелка на параболу один.
шагов вверх ползком -
вниз кубарем. "Нет, - думает, - не сходится этот ряд. Как бы мне упростить выражение?"
И заговорила парабола на метаязыке: "Коли хочешь добраться до Формальной Теории, не пожалей себя: отломи от себя кусочек, сделай из него минус и подари мне".
Ну, делать нечего. Сделал Стрелка минус из собственного подмножества (хорошо хоть он выпуклый был), дал параболе. Перевернулась парабола вершиной вверх.
Взобрался Стрелка на вершину. Смотрит, а внизу страшная Канторова Пыль расстилается.
- Ничего, - сказал Стрелка. - Есть же и у тебя граница. Пробегали мы и не такие множества.
- Я и есть своя граница, - недобро усмехнулась Пыль. - Многие включались в меня, да никто во внешность не выбрался.
- Ну, - отвечает Стрелка, - уж внутрь к тебе я не попаду.
- Внутрь никто не попал, а никто и не выбрался. Ибо я замкнута, - предупредила Пыль.
Не испугался Стрелка. Прыгнул прямо в Пыль. Стоит на одной точке. Хочет на следующую перепрыгнуть - а нет следующей. Хочет пропасть по отрезку перейти - а нет отрезка. Так бы Стрелке и сгинуть, да пролетал мимо добрый волшебник Булеан.
- Где цель твоя, Стрелка? - окликнул героя чародей.
- Хочу я освободить красавицу Формальную Теорию от нелепых правил злобного Вывода! - прокричал морфизм.
- Нет пути между этими точками, ибо нет на проклятой Канторовой Пыли благодати линейной связности, - нахмурился Булеан. - Но я тебя выручу. Цепляйся за руку, унесу тебя и сделаю своим учеником. А без того не решишь ты это уравнение даже численно, ибо есть твоей мощности предел по Гейне и по Коши. Смирись и учись: такова норма.
Послушался Стрелка и попал в ученики к Булеану. Много повидал он. Гулял по странным аттракторам, исповедовался у недостижимых кардиналов, с невычислимыми функциями об интуиционистской логике спорил. Странствовал по разным полям, заглядывал во всякие группы. Днями и ночами созерцал пустое множество, не имея во рту даже бесконечно малой крошки хлеба. Скоро поля исписываются, нескоро теоремы доказываются.
И перенял Стрелка у Булеана столько мудрости, что ни в сказке сказать, ни в элементарных функциях выразить. Стал он готов к бифуркации, того и гляди сменится топология фазовых траекторий.
- Что ж, - сказал ему Булеан. - Ты постиг много метрик. Скажи теперь: может ли быть пусто декартово произведение непустых множеств?
- Нет, - отвечает Стрелка, - никогда не может быть пусто.
- Можешь ли ты доказать это?
- Нет, и никто не может.
- Тогда откуда же ты знаешь, что это истина?
- Нет истины вне модели и доказуемости вне аксиом, учитель. Я принимаю это как аксиому, ибо не порождает она противоречия. И будет она аксиомой моего выбора, ибо теперь я вижу: есть у меня выбор.
Сверкнуло! Разверзлась бездна между ветвями гиперболы. Обрёл Стрелка неизмеримое множество покорных ему функционалов и власть навести полный порядок в любом множестве. Убоялся его злобный Вывод и расколдовал Формальную Теорию. И стала она Неформальной Теорией, и заговорила на естественном языке. Тут и сказочке предельная точка, а кто слушал - ЧТД.