неразложимость матрицы

[Andrey_Kireew]

Уважаемые участники, какие существуют необходимые или достаточности неразложимости матрицы?

[grizzly]

Вероятно, любую матрицу можно разложить. Главное выбрать нужный вид разложения из многих существующих, а если это по каким-то причинам не удаётся, тогда можно создать новый вид разложения. Только нужно аккуратно проследить за тонкостями определений и обозначений для разложения пустых матриц.

[Andrey_Kireew]

Под разложимостью подразумевается:
$M=\begin{pmatrix} A & B\\ 0 & C \end{pmatrix}$,
т.е. сведение системы к двум или более независимым системам.

[grizzly]

Andrey_Kireew в сообщении #1343778 писал(а):

Под разложимостью подразумевается:
$M=\begin{pmatrix} A & B\\ 0 & C \end{pmatrix}$,

А, сорри, я подумал, что под разложимостью подразумевается представление матрицы в виде произведения матриц с определёнными свойствами. А про Ваш вариант я ничего не слышал.

[mihiv]

Andrey_Kireew в сообщении #1343778 писал(а):

Под разложимостью подразумевается:
$M=\begin{pmatrix} A & B\\ 0 & C \end{pmatrix}$,

Жорданова форма матрицы имеет как раз такой вид.

[Optimizator]

Над полем комплексных чисел любая матрица приводится к треугольной форме (теорема Шура)

[grizzly]

Optimizator в сообщении #1343988 писал(а):

...любая матрица приводится к треугольной форме...

Там только квадратные.

[Евгений Машеров]

Тут https://en.wikipedia.org/wiki/Perron%E2 ... us_theorem приводятся 4 эквивалентных определения неразложимости.

[Andrey_Kireew]

Optimizator в сообщении #1343988 писал(а):

Над полем комплексных чисел любая матрица приводится к треугольной форме

причём здесь треугольная форма?
Я же пояснил: систему с разложимой матрицей можно рассматривать как совокупность двух или более независимых систем. Система с треугольной матрицей это совокупность самостоятельных уравнений, т.е. это уже готовое решение.

Некоторые матрицы можно разделить, не доводя до треугольного вида, а некоторые нет. Вопрос в том, по каким критериям это можно определить?

[Евгений Машеров]

Если это прикладной вопрос - рассмотреть матрицу B с элементами, равными 0 или 1 (если в исходной матрице $a_{i,j}=0, то $b_{i,j}=0$ иначе $b_{i,j}=1$, рассматривая её, как матрицу смежности некоторого графа, и найти матрицу достижимости, например, алгоритмом Флойда-Уоршела.
Для теоретических соображений может пригодиться то, что по теореме Фробениуса-Перрона для неразложимых неотрицательных матриц максимальное по модулю собственное значение единственно.

[Andrey_Kireew]

Евгений Машеров в сообщении #1344103 писал(а):

Для теоретических соображений может пригодиться то, что по теореме Фробениуса-Перрона для неразложимых неотрицательных матриц максимальное по модулю собственное значение единственно

вопрос в том, как определить неразложимость

[Someone]

Andrey_Kireew в сообщении #1344129 писал(а):

вопрос в том, как определить неразложимость

Дык, Вам же об этом уже говорили. Но вопрос-то Вы́ задаёте. Поэтому Вам и определять точно, что Вы имеете в виду. Например, что такое "независимые подсистемы". Если первая подсистема решается сама по себе, а решения второй зависят от решений первой — они зависимы или нет? А вдруг вторая система имеет решения не для всех решений первой? Тогда у Вас будут случаи, когда для некоторых решений первой подсистемы полная система не имеет решений, а для некоторых других — имеет. Зависимы тогда подсистемы или независимы? А матрица при этом будет именно такая, как Вы написали. Первая подсистема соответствует матрице $C$, а вторая — матрице $\begin{pmatrix} A&B\end{pmatrix}$

[Евгений Машеров]

Термин "неразложимость" (irreducibility) я встречал только в связи с теоремой Фробениуса-Перрона и следствиями из неё. Если имеется в виду именно употребляемый там смысл - то это в некотором роде условие, его проверяем - получаем определённые свойства, не выполняется - свойства куда более слабые. В одной из прикладных задач, где играет названная теорема, задаче о построении рейтинга по парным сравнениям, смысл неразложимости понятен - для двух любых объектов можно построить цепочку сравнений. Если нельзя - то общего для всех объектов рейтинга быть не может, поскольку есть группы, меж собой несравнимые. Если какой-то иной смысл - дайте более точное определение.

[Andrey_Kireew]

Ну, по крайней мере, терминология у Вас Евгений Машеров мне очень знакома. Это наталкивает на мысль, что мы говорим об одном и том же. Хотя задача у меня совсем другая.

[arseniiv]

Так вы проверьте явно: вот соответствующий подраздел статьи, на которую выше ссылались. Там несколько эквивалентных определений. Одно похоже на ваше (но гораздо конкретнее и яснее), и если это то самое, другие можно использовать как критерии. Впрочем, Евгений Машеров сославшись сам и выписал, как именно, прямо в теме.