Вопрос-числодробилка с MSE - попробует кто-нибудь?..

[MetaMorphy]

В оригинале вопрос задан на кривом английском, к тому же несколько неточно. Поэтому ниже — моя редакция, с некоторыми деталями.

Для целого положительного числа $n$ определим $r_n$ как наименьшее целое положительное число $r$, для которого, если $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^r}=\frac{a}{b}$ с взаимно простыми $a$ и $b$, число $a+b$ является простым; если такого $r$ не существует, положим $r_n=\infty$. (В оригинале сделано утверждение, что $r$ существует всегда, и в имеющемся ответе сделан эвристический намёк на это, но... до доказательства там, разумеется, далеко.)

Запуск нехитрых подсчётов (скажем, с помощью PARI/GP) показывает, что начало этой последовательности выглядит так (некоторые значения лишь гипотетические):

$$1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 34, 1, 1, 5, ?, 6, 5, 1, ?, 5, 2, 3, 6, 12, 1, 75, 3, 8, 6, ?, 7, ?, 1, 1, 5, 2, 1, ?, \ldots$$

В частности, $r_{13} = {34}$; значение $r_{17}$ мне получить не удалось (оно больше 2000, если вообще конечно).

Не попробует кто-нибудь, вооружившись чем-либо более мощным (в том числе теорией), найти $r_{17}$ (или хотя бы существенно урезать кандидаты в таковые)?

(Возможность "отсеять" значения $r$, для которых $a+b$ имеет "мелкий" простой делитель $p > n$ — в этом случае $\sum_{k=1}^{n}k^{-r}\equiv -1\pmod p$ — я учёл.)

[dmd]

$r_{32}=2015$, но в проверке использовал ispseudoprime в pari/gp.

Для $r_{17}$ вчера остановился на 4334, это число порядка 30 тысяч десятичных знаков. Сегодня вечером напишу, продвинулась проверка дальше или нет.

[dmd]

$r_{17}$ проверено до 5482.

[wrest]

Проверил $r_{17}$ до $5600$ включительно - решений нет.
Наткнулся на то, что не хватает мозгов проверить является ли $121$ решением для $r_{41}$ -- ispseudoprime говорит что простое, а isprime отжирает полгигабайта стека и проверить наверняка не может.
Собсно число-кандидат в простые ($\approx 10^{2098}$):

(Оффтоп)

293640469555696833391600546663763333106495022165090670335946821034860486479805512092468201687853011348044453584456354500029
27192530345200959834930544486298618077189093977170721905529074243575064468807755573314608265288583969977135544287384658795167824
72526174041058702158761496451202972241255196417278105720699932046767181686440231486046080780037670675928056946423421849342869113
10134754470444081428618422392717155291253800936965148506425916359424161085039254824541364534464292643414628641257004603581964902
85111618175125825290293073488331514076294906470645123566193637287835493175963461479713553081663010421278994265099666206190986328
24151821288381851417589841443825517541766919900550261381907481004186010375543376962257910459334982797394591463616879654947618394
84940584926501687259015947032755777150178989216310072801202282619481130754271825373951825893523705505317152217081143298147098749
35623670469354199687594545614061281643511925674209778228867108124183625455622619706063118555062432952615449711354240887258368917
49312121355577585921626384125458553305191719694571020944511860819476389399177032807558269428318621178769911689264421545782853486
80064795140865900688354867883985971802209375253500805922359520135870030075719824051209919368448756618788164562637354091569693780
24174888665217236575646256605198813515040493061867967201776328666790422964723110178147747237890046528323165796622323436502667512
62756338645819281075168935980514101796488518658045860363599025189174968848044190408467002910009251401474174553876247329878278664
15748292965808606475910059422069611599440336078251875181839395567986152924354746424324932377526551520693925116494913085026282750
10717201221127931978857192200647219428989491881649378578912639006209086056278906339028155566830705280919725868990931078824932088
54481475230745461753434009682302900520667512424631101958667778775507807756064308920472404670408840525783508526342333148519498171
38056770272616147980871000606636439799482653935312057178894023219456587388055731035855148069120197133789168618219095407247387624
6549278510827093712130255467098174064865438077918347443

[kotenok gav]

WolframAlpha не справляется.

[wrest]

kotenok gav в сообщении #1343637 писал(а):

WolframAlpha не справляется.

А как вы в вольфрам 2098-значное число заправили?
Тут нужен Someone - у него какая-то хитрая проверялка на простые есть.

-- 04.10.2018, 18:54 --

Всетки isprime пыхтела-пыхтела и сказала что $r_{41}=121$

[dmd]

да, за полтора часа isprime подтвердила $r_{41}=121$, при этом памяти было использовано чуть более 2-х гиг. А запускал gp так: gp -s 4g -p 1g, т.е. 4 гига было у процесса gp. В параллельных процессах на других ядрах для других $r$ запускал аналогично, при этом под текущую проверку $r_{17}?=6081$ в Диспетчере Задач процесс gp использует всё те же 2 гига, почему-то, хотя проверяемое число много больше.

[Someone]

wrest в сообщении #1343645 писал(а):

у него какая-то хитрая проверялка на простые есть

Если у Вас Linux, скачайте Primo 4.3.0. К сожалению, Windows больше не поддерживается. Если нужна версия для Windows, сообщите мне адрес электронной почты в личном сообщении. Время проверки числа порядка $10^{2000}$ — несколько часов. Используется метод эллиптических кривых. Создаётся сертификат простого числа, который можно проверить этой же программой.

[kotenok gav]

wrest в сообщении #1343645 писал(а):

А как вы в вольфрам 2098-значное число заправили?

Копипастой.

[dmd]

isprime с флагом 3 тоже на элл.кривых проверяет. Скорость скорее всего будет примерно та же.

? ?isprime
isprime(x,{flag=0}): true(1) if x is a (proven) prime number, false(0) if not. If flag is
0 or omitted, use a combination of algorithms. If flag is 1, the primality is certified
by the Pocklington-Lehmer Test. If flag is 2, the primality is certified using the APRCL
test. If flag is 3, use ECPP.

[wrest]

Someone в сообщении #1343663 писал(а):

Если у Вас Linux, скачайте Primo 4.3.0
. К сожалению, Windows больше не поддерживается.

Из линуксов у меня только termux под android, это "prefixed" линукс-среда, без графики, там работает pari/gp. Так что мне подходят только консольные программы, распространяемые в исходных кодах и написанные так, что не используют абсолютных путей (pari/gp оказалась как раз такой - я её собирал непосредственно на планшете).
Спасибо за предложение, я вспомнил теперь: у вас какая-то другая хитрая программа была, которая искала делители. А тут это вроде не надо.

[Someone]

wrest в сообщении #1343693 писал(а):

другая хитрая программа была, которая искала делители

https://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM Прямо в браузере запускается. Язык программирования — Java.

wrest в сообщении #1343693 писал(а):

Из линуксов у меня только termux под android, это "prefixed" линукс-среда, без графики, там работает pari/gp.

Я имел в виду настольный компьютер.

[dmd]

Последовательность для $a-b$ выглядит так:

oo, oo, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 32, 1, ...

[wrest]

Someone в сообщении #1343717 писал(а):

https://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM
Прямо в браузере запускается. Язык программирования — Java.

Я еще раз вспомнил -- речь шла про OpenPFGW, для которой я не нашел исходного кода чтобы скомпилировать на планшет и посчитал вас э... счастливым обладателем.

[MetaMorphy]

Большое спасибо всем откликнувшимся!

Задача и впрямь для "настоящих джедаев". У меня появилось ещё несколько идей для "просеивания", но я их сначала проверю, перед тем как вбрасывать сюда.

Что касается оригинального поста на MSE — пока вписывать туда что-либо _сам_ не собираюсь. Как минимум по трём (достаточно очевидным) причинам ;)