Девочки и бананы

[Ktina]

Нескольким девочкам подарили несколько одинаковых бананов (число девочек равно числу бананов). После этого часть девочек от бананов отказались. Докажите, что бананы можно разделить поровну между остальными девочками, разрезав каждый не более одного раза.

[waxtep]

Пусть бананов $n$, а безотказных девочек - $m<n$. Достаточно рассмотреть $m+1\leqslant n\leqslant 2m-1$; если бананов больше - раздадим излишки поровну, не разрезая (а если $m|n$, так и вообще ничего резать не придется).
Итак, $n=m+k+1,0\leqslant k\leqslant m-2$; первый банан не будем резать вообще; второй разрежем $1:(m-1)$, третий - $2:(m-2)$,...$m$-ый - $(m-1):1$, $(m+1)$-ый снова не режем, $(m+2)$-ой - $1:(m-1)$,...$(m+k+1)$-ый - $k:(m-k)$.

а) при $k=0$ у нас получилось два набора по $\{1,2,\ldots m\}$ $m$-ых долей банана; они легко делятся на $m$ равных десертов по $(m+1)$ $m$-ых долей банана (из одного набора берем кусочек $i/m$, а из другого - $(m-i+1)/m$);

б) при $1\leqslant k\leqslant m-2$ у нас получатся такие наборы (далее все в $m$-ых долях банана и $\{a\div b\}\equiv\{a,a+1,a+2,\ldots,b\}$):
$2\times\{1\div m\}+\{1\div k\}+\{m-k\div m-1\}$; начнем собирать десерты:
$\begin{array}{l} \{1,1,k,m-1\}\\ \{2,2,k-1,m-2\}\\ \ldots$\\ \{k,k,1,m-k\} \end{array}$
На столе осталось два набора $\{k+1\div m\}$, они делятся на нужное количество десертов по $m+k+1$ аналогично (а) выше.

[mihaild]

Зачем так сложно?
Каждой девочке нужно минимум по одному банану. Даем первой девочке нужное число целых бананов. Если ей нужен еще кусок - отрезаем и выдаем. Второй девочке отдаем обрезок банана - т.к. обрезок меньше банана целиком, то не переберем. Дальше точно также выдаем второй девочке нужное число целых бананов и, возможно, обрезок. И т.д.

[waxtep]

mihaild в сообщении #1343552 писал(а):

Зачем так сложно?

Черт его знает так придумалось, а упростить не додумалось

[wrest]

Что-то опять с условиями не то или я не понимаю их. Пять девочек, одна отказалась. Как разделить отказной банан между четырьмя безотказными девочками разрезав его только один раз?

[kotenok gav]

wrest в сообщении #1343557 писал(а):

Как разделить отказной банан между четырьмя безотказными девочками разрезав его только один раз?

Никак. Мы делим все 5.

[Mihr]

kotenok gav в сообщении #1343558 писал(а):

Мы делим все 5

Зачем? Достаточно разделить 3 банана: от двух отрезать по четвертушке, а третий разрезать пополам.

[wrest]

А, ну тогда решение mihaild можно представить так.
Выкладываем бананы в линейку и делим получившуюся "колбасу" на равные части. Поскольку бананов больше чем девочек, то длина одной части (порции для одной девочки) больше длины одного банана, и это гарантирует, что ни один банан не будет разрезан в двух местах.

[waxtep]

wrest в сообщении #1343561 писал(а):

Выкладываем бананы в линейку и делим получившуюся "колбасу" на равные части

!!! - точно. А я их выложил вертикально параллельно, и сделал косой надрез ножом с зубчиками. Понятно, что это занимает больше времени