2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Секретное число Незнайки
Сообщение01.10.2018, 22:54 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Незнайка утверждает, что знает некое секретное число. Это такое натуральное число, что если прибавить его к факториалу любого натурального числа, то в сумме получится составное число.
Чего Незнайка не знал, так это того, что на самом деле таких секретных чисел бесконечно много (наименьшее из них равно 8). Поэтому Зайка предложил Незнайке классифицировать все секретные числа по уровню их секретности.

Итак, назовём натуральное число $k-$секретным, если, во-вторых, при сложении этого числа с факториалом любого натурального числа в сумме получается число, имеющее не менее $k$ делителей; а во-первых, существует такой факториал натурального числа, что при его сложении с $k-$секретным числом в сумме получается число, у которого ровно $k$ делителей.

Например, число 8 является наименьшим 3-секретным числом, а число 14 является наименьшим 4-секретным числом.

А вот найти вручную наименьшее 5-секретное число, кажется, уже не удаётся.
Пожалуйста, помогите его найти!
А заодно и числа более высокой секретности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Секретное число Незнайки
Сообщение02.10.2018, 01:29 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Да уж, руками его найти трудновато, даже если перебирать лишь степени простых.
Вот несколько первых секретных чисел:
Код:
k=3:8
k=4:14
k=5:130320
k=6:174
k=7:15624
k=8:664
k=9:17688
k=10:20768
k=11:9765624
k=12:7104
k=13:?
k=14:151744
k=15:1155624
k=16:28104
k=17:?
k=18:1113804
k=19:?
k=20:385824
Для k=13,17,19 число скорее всего намного больше 10 миллионов.
Интересно что для k=10,14,18,20 ровно k делителей не при 1!.

 Профиль  
                  
 
 Re: Секретное число Незнайки
Сообщение02.10.2018, 01:31 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Dmitriy40
Большое спасибо!

-- 02.10.2018, 01:32 --

И почему этой последовательности нет в OEIS?

 Профиль  
                  
 
 Re: Секретное число Незнайки
Сообщение02.10.2018, 01:53 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Про числа для k>10 я не на 100% уверен в правильности, проверял лишь первые 20 факториалов, мог что-то и пропустить, если ровно k делителей вдруг встретится лишь при ещё большем факториале (а думать над доказательством лень).

-- 02.10.2018, 02:49 --

Возможные решения, не факт что минимальные, но очень вероятно:
$k=13:\,11^{12}-1$
$k=17:\,31^{16}-1$
$k=19:\,5^{18}-1$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group