Какие подстановки переменных допустимы. x^2+x+1=0

[gangstervano]

Добрый вечер.

Наткнулся на такую тему:

https://www.youtube.com/watch?v=SGUZ-8u1OxM



Автор говорит, что ошибка происходит в 3-ем шаге, когда мы делаем замену $x+1$ на $-x^2$, тем самым добавляем дополнительный корень в уравнение, которого не было в исходном.

Т.е. получается, что часть выражения не всегда можно заменить на равную часть выражения?

Есть какие-то критерии, когда часть выражения можно заменять, а когда нет, чтобы уравнения остались эквивалентными (т.е. имели одни и те же корни)?

[Slav-27]

Первая ошибка там в 5-й строчке. (А в 1-й строчке написано: "пусть $x$ удовлетворяет такому-то равенству...")

[gangstervano]

И в чём ошибка в 5-ой строчке?

[DeBill]

gangstervano в сообщении #1342803 писал(а):

Есть какие-то критерии, когда часть выражения можно заменять, а когда нет, чтобы уравнения остались эквивалентными (т.е. имели одни и те же корни)?

Есть! Если грубо, то: если они остались эквивалентными, то - можно, а иначе - нет....
Ну а если по существу: что реально было сделано? Уравнение разделили на икэс, и из полученного вычли исходное. Это - все равно что исходное умножить на $\frac{1}{x} -1$.
Ну, и теперь - ясно: во-первых, приобрели лишний (возможно) корень $x=1$ (так что в конце нужна проверка. Товарисч ее и делает, убеждается, что этот корень - посторонний, и удивленно грит (достав кролика из-за пазухи, и положив его в корзину)"Вах, откуда в корзине кролик взялся?"). А во-вторых, могли потерять кролика корень $x=0$.
И, в третьих:

gangstervano в сообщении #1342831 писал(а):

И в чём ошибка в 5-ой строчке?

- дык, именно тут и потеряли настоящие корни исходного ур-я (ну подумаешь, комплексные они)

[gris]

Можно сразу вычесть из уравнения его само и получить весь мир! И, главное, не проверишь все корни

[dmd]

Аналогичное видео про тоже самое уравнение https://www.youtube.com/watch?v=sm2BQlkpZAM

[gangstervano]

gris в сообщении #1342933 писал(а):

Можно сразу вычесть из уравнения его само и получить весь мир! И, главное, не проверишь все корни

В этом что-то есть, но мы же всё-таки не вычитаем уравнение, а делаем замену...

Я единственное не пойму, почему замена в уравнение приводит к таким результатам. При интегрирование мы часто делаем замены и вроде бы таких проблем нет. Хотя мы как правило там меняем переменные.

Т.е. я правильно понимаю, что в общем случае нельзя заменять выражение зависящее от $X$, на другое выражения зависевшее от $X$, в т.ч. на равное?

А остальные преобразование уравнения (перенос слагаемых, умножение на число, изменения порядка слагаемых и множителей) делают полученное уравнение эквивалентное (в том смысле множество корней у них будет одинаковое) исходному?

DeBill в сообщении #1342860 писал(а):

- дык, именно тут и потеряли настоящие корни исходного ур-я (ну подумаешь, комплексные они)

Не пойму, какая принципиальная разница, над каким множество рассматривается уравнение над $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$?

Если мы рассматриваем уравнение $\mathbb{R}$ , то первое уравнение не имеет корней, а второе имеет один корень, но теме немее он не является корнем первого уравнения. Хотя вроде бы, кажется, мы не производили никаких действий меняющих эквивалентность уравнений.

Аналогично на $\mathbb{C}$ у второго уравнения появляется дополнительный корень.

В этом вопросе ни имеет значение на $\mathbb{C}$ или $\mathbb{R}$ рассматривается данные уравнения.

[mihaild]

Замена - это переход от уравнения $f(x) = 0$ к системе $(f \circ h^{-1})(y) = 0, y = h(x)$. Если $h$ биективна, то такое преобразование не приводит к изменению множества корней относительно $x$.
А вот подстановкой следствия из уравнения в него само мы в общем случае получаем не равносильное уравнение, а только следствие исходного.
Простейший пример.
Было уравнение $x = 0$.
Из него легко выводится $x = 0$.
Подставляем в исходное уравнение, получам $0 = 0$ (или $x = x$, как больше нравится).

[gangstervano]

mihaild

Кажется я понял.

Т.е. смысл в том, что не всегда можно делать замену переменной, особенно если замена берется из следствия уравнения.

mihaild в сообщении #1343081 писал(а):

Замена - это переход от уравнения $f(x) = 0$ к системе $(f \circ h^{-1})(y) = 0, y = h(x)$. Если $h$ биективна, то такое преобразование не приводит к изменению множества корней относительно $x$.

Т.е. после 3-го шага 1-ое уравнение стало бы эквивалентно системе

$\begin{equation*} \begin{cases} -x^2 +1/x=0 \\ x+1=-x^2 \end{cases} \end{equation*}$

А у этой системы нет корня $x = 1$. Однако в примере считается, что первое уравнение эквивалентно одному третьему, а не системе из двух уравнений.

Спасибо!

DeBill в сообщении #1342860 писал(а):

Ну а если по существу: что реально было сделано? Уравнение разделили на икэс, и из полученного вычли исходное. Это - все равно что исходное умножить на $\frac{1}{x} -1$.

gris в сообщении #1342933 писал(а):

Можно сразу вычесть из уравнения его само и получить весь мир! И, главное, не проверишь все корни

Это тоже стало понятно особенно после примера

mihaild в сообщении #1343081 писал(а):

Было уравнение $x = 0$.
Из него легко выводится $x = 0$.
Подставляем в исходное уравнение, получам $0 = 0$ (или $x = x$, как больше нравится).

Короче смысл в том, что из уравнения вычли самого себя а это как известно приводит у уравнению $0 = 0$. Только сделали это весьма запутанно.

В общем мне кажется, что в целом я это понял, но надо над этим ещё подумать...

[gris]

Кстати, уже говорилось, что ошибка в пятой строчке. Более конкретно: Из $x^2+x+1=0$ действительно следует, что $x^3=1$. Как и верно, что из $x=1$ следует, что $x^3=1$. Но не в обратную сторону! Из $x^3=1$ вовсе не следует, что $x=1$. То есть у нас получается, что $x^2+x+1=0\Rightarrow x^3=1\Leftarrow x=1$. Из такой конструкции никак не получить логической цепочки.
Правда в действительных числах из $x^3=1$ следует, что $x=1$. Но равенство $x^2+x+1=0$ не может выполняться, и $x^3=1$ просто не может появиться. В комплексных числах равенство $x^3=1$ равносильно совокупности $x=1$ или $x=-1/2+\sqrt 3/2\;i$ или $x=-1/2-\sqrt 3/2\;i$.
Совокупность это не система. При первом значении $x^2+x+1=3$, но при втором и третьем $x^2+x+1=0$. Всё нормально.
А заменять можно безбоязненно на тождественно равные выражения. Например, $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Вы, наверное, перенесли методы решения систем уравнений с несколькими переменными на решение уравнений с одной переменной.