Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции

[vicvolf]

Известно, что любой начальный отрезок натурального ряда $1,2,...,n$ можно естественным образом превратить в вероятностное пространство с равномерной вероятностной мерой $(Q_n,A_n,P_n)$, взяв в качестве $Q_n=(1,2,...,n)$, $A_n$ - все подмножества $Q_n$, $P_n=N(m \in A)/n$, где $N(m \in A)$ - это количество членов отрезка натурального, удовлетворяющих условию $m \in A$.
Тогда произвольную (вещественную) арифметическую функцию $f(k)$ для каждого $k(1 \leq k \leq n)$) можно представить как случайную величину $x_n(k)=f(k)$. Поэтому, можно говорить о математическом ожидании (среднем значении), дисперсии, функции распределения и характеристической функции $f(k)$.

В теме "Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)" была показана квази асимптотическая независимость арифметических функций Мебиуса, Лиувилля и некоторых других арифметических функций. Квази, так как значения $f(1),...,f(n)$ находятся в разных вероятностных пространствах. Выделю одно сообщение этой темы, так как буду на него непосредственно ссылаться.

vicvolf в сообщении #1335233 писал(а):

Обозначим арифметическую функцию Мебиуса или Лиувилля $f(k)$.

Под асимптотической независимостью арифметических функций Мебиуса и Лиувилля будем понимать то, что при $n \to \infty$ предел разницы между средним значением произведения арифметической функции $f(k)$ и произведением средних значений той же функции при разных значениях аргумента стремится к нулю.

Теорема 1

Пусть среднее значение произведения арифметической функции $f(k)$ при разных значениях аргумента определяется по формуле:

$\frac {\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1( i \not= j)}^n {f(i)f(j)}} {n(n-1)}$. (1)

Пусть произведение средних значений арифметической функции $f(k)$ при разных значениях аргумента определяется по формуле:

$\frac {(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)})^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}}{n^2}$. (2)

Тогда оценка сверху разницы между средним значением произведения арифметической функции $f(k)$ и произведением средних значений той же функции при разных значениях аргумента равна $o(1/n)$.

Доказательство

Найдем разность:

$\frac {\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1( i \not= j)}^n {f(i)f(j)}} {n(n-1)}- \frac {(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)})^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}}{n^2}$. (3)

Учитывая, что $\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1( i \not= j)}^n {f(i)f(j)}=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n {f(i)f(j)}-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}$ , подставляя это в (3), получим:

$\frac {\sum\limits_{i=1}^n \sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}}{n(n-1)}- \frac {(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)})^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}}{n^2}$. (4)

Так как $\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n {f(i)f(j)}=(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)})^2$, то на основании (4) получим:

$(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)})^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}})(1/n(n-1)-1/n^2)$. (5)

Учитывая, что $(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)})^2=o(n^2)$, а $\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}=O(n)$, подставляя это в (5) и получим оценку: $o(1/n)$. ч.т.д.


Следствие 1

Соблюдается асимптотическая независимость арифметических функций Мебиуса и Лиувилля.

Доказательство

На основании Теоремы 1 при $n \to \infty$ предел разницы между средним значением произведения арифметической функции $f(k)$ и произведением средних значений той же функции при разных значениях аргумента стремится к нулю, т.е. выполняется асимптотическая независимость арифметических функций Мебиуса и Лиувилля.

Поставим целью определение предельной функции распределения для сумматорной арифметической функции с квази асимптотически независимыми слагаемыми арифметическими функциями. Таким образом, нас интересует определение предельной функции распределения для сумматорной арифметической функции $S(n)= \sum\limits_{k=1}^n {f(k)}$ при $n \to \infty$.

Будем искать данное предельное распределение с использованием характеристических функций. Как уже говорилось, для любой арифметической функции существует характеристическая функция, поэтому существует характеристическая функция для $S(n)$ - $\varphi_{S(n)}(t)=M[e^{itS(n)}]$.

Однако, впрямую использовать квази асимптотическую независимость для нахождения характеристической функции от $S(n)$ мы не можем, так как $S(n)$ является суммой $f(1),...,f(n)$, находящихся в разных вероятностных пространствах. Данную проблему позволяет решить следующее утверждение.

Утверждение 1

В случае, если слагаемые сумматорной арифметической функции $S(n)= \sum\limits_{k=1}^n {f(k)}$ при $n \to \infty$ квази асимптотически независимы, то:

$\varphi_{S(n)}(t)=\prod_{k=1}^n {\varphi_{f(k)}(t)$ (6)

при $n \to \infty$ и $\varphi_{S(n)}(t)$ однозначно определяет функцию распределения $S(n)$.

Доказательство

Учитывая, что слагаемые $f(k)$ квази асимптотически независимы, то для их средних значений выполняется следующее соотношение при $n \to \infty$:

$M_{ij}[f,n] \to M_i[f,n]M_j[f,n]$, (7)

где $M_{ij}[f,n]$ определяется по формуле (1) сообщения, а $M_i[f,n]M_j[f,n]$ определяется по формуле (2) сообщения.

На основании Леммы 3 стр. 123 Боровков "Теория вероятностей" можно построить случайные величины: $g(1),...,g(n)$, находящиеся в одном вероятностном пространстве, которые имеют соответственно равные функции распределения с $f(1),...,f(n)$, а следовательно и характеристические функции. Так как совпадают функции распределения, то совпадают и средние значения соответственно для $f(k)$ и $g(k)$, поэтому при выполнении (7) можно записать аналогичное соотношение для средних значений $g(k)$ при $n \to \infty$:

$M_{ij}[g,n] \to M_i[g,n]M_j[g,n]$. (8)

На основании (8), не учитывая тривиальные случаи, можно считать $g(1),...,g(n)$ уже асимптотически независимыми (без квази), так как они находятся в одном вероятностном пространстве. На основании этого и свойств характеристической функции при $n \to \infty$:

$\varphi_{\sum\limits_{k=1}^n {g(k)}}(t)=\prod_{k=1}^n {\varphi_{g(k)}}(t)}=\prod_{k=1}^n {\varphi_{f(k)}}(t)}$, (9)

учитывая равенство соответствующих характеристических функций $\varphi_{g(k)}}(t)=\varphi_{f(k)}}(t)$.

Таким образом, на основании (9) по $\prod_{k=1}^n {\varphi_{f(k)}}(t)}$ однозначно определяется предельная функция распределения для $\sum\limits_{k=1}^n {g(k)}$ при $n \to \infty$. Назовем ее $G(x)$.

Учитывая, что функции распределения для $f(k),g(k)$ соответственно совпадают, совпадают и предельные функции распределения для $\sum\limits_{k=1}^n {g(k)}$ и $\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}$ при $n \to \infty$.

Следовательно, сумматорная функция $S(n)=\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}$ имеет функцию предельного распределения $G(x)$ при $n \to \infty$, которая однозначно определяется по характеристической функции $\varphi_{\sum\limits_{k=1}^n {g(k)}}(t)$, которая в свою очередь, на основании (9), равна $\prod_{k=1}^n {\varphi_{f(k)}}(t)}$.

Таким образом, получаем, что при при $n \to \infty$ выполняется $\varphi_{S(n)}(t)=\prod_{k=1}^n {\varphi_{f(k)}(t)$, что соответствует (6), а $\varphi_{S(n)}(t)$ однозначно определяет функцию распределения $S(n)$ ч.т.д.

Прошу указать на обнаруженные ошибки.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1343022 писал(а):

Будем искать данное предельное распределение с использованием характеристических функций.

Не пойдёт. Сначала дайте определение того объекта, который вы ищете, а потом "будем искать".

[vicvolf]

g______d
Объектом является предельная функция распределения для сумматорной арифметической функции $S(n)$ при $n \to \infty$. В том смысле, что $S(n)$, как любую арифметическую функцию, можно представить в виде последовательности случайных величин: $S(1),..,S(n),...$, находящихся в разных вероятностных пространствах. Обозначим функции распределения этих случайных величин соответственно: $F_1,...,F_n,...$, а предельную функцию распределения - $F$. Естественно, не любая $S(n)$ имеет предельную функцию распределения. Обозначим характеристические функции для случайных величин $S(1),..,S(n),...$ соответственно $\varphi_{S(1)} (t),...,\varphi_{S(n)} (t),...$. Тогда, на основании теоремы о непрерывности характеристической функции, $F_n \to F$ при $n \to \infty$, если при каждом значении $t$ существует предел - $\lim_{n \to \infty} {\varphi_{S(n)} (t)}$, непрерывный в точке $t=0$.

Подчеркнутое условие надо добавить в формулировку Утверждения 1.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1343213 писал(а):

В том смысле, что $S(n)$, как любую арифметическую функцию, можно представить в виде последовательности случайных величин: $S(1),..,S(n),...$, находящихся в разных вероятностных пространствах.

Напишите строгое определение этих случайных величин с вероятностными пространствами, в общем виде, а также на примере $S(10)$.

[vicvolf]

g______d в сообщении #1343259 писал(а):

Напишите строгое определение этих случайных величин с вероятностными пространствами, в общем виде, а также на примере $S(10)$.

Строгое определение вероятностных пространств случайных величин для арифметических функций я уже давал.

vicvolf в сообщении #1343022 писал(а):

Известно, что любой начальный отрезок натурального ряда $1,2,...,n$ можно естественным образом превратить в вероятностное пространство с равномерной вероятностной мерой $(Q_n,A_n,P_n)$, взяв в качестве $Q_n=(1,2,...,n)$, $A_n$ - все подмножества $Q_n$, $P_n=N(m \in A)/n$, где $N(m \in A)$ - это количество членов отрезка натурального, удовлетворяющих условию $m \in A$. Тогда произвольную (вещественную) арифметическую функцию $f(k)$ для каждого $k(1 \leq k \leq n)$) можно представить как случайную величину $x_n(k)=f(k)$.

Для слагаемых арифметических функций $f(k)$ сумматорной арифметической функции $S(n)=\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}$, которым соответствует случайная величина $x_k(1 \leq k \leq n)$ пространство исходов однотипно, например $Q_{10}=(1,2,...,10)$, однотипно и пространство событий $A_{10}$ - это все подмножества $(1,2,...,10)$, а вероятность событий $P_{10}=N(m\in A)/10$, где $N(m\in A)$ - количество членов множества $(1,2,...,10)$, удовлетворяющих условию, зависит от вида арифметической функции.
Например, для сумматорной функция - количество простых чисел, не превосходящих $n$, т.е. $S(n)=\pi(n)=\sum\limits_{k=1,k \in p}^n {1}$ слагаемые арифметические функции соответствуют случайным величинам $x_k$, которые являются случайными величинами Бернулли. Среди первых $10$ натуральных чисел $4$ простых числа $(2,3,5,7)$, поэтому вероятность $P_{10}=4/10$. Следовательно, в данном случае $x_{10}=1$ c вероятностью $P_{10}(1)=0,4$ и $x_{10}=0$ c вероятностью $P_{10}(0)=0,6$.
Для сумматорной функции Лиувилля $L(n)=\sum\limits_{k=1}^n {l_k}$, где $l_k=1$, когда число простых сомножителей $k$ - четно, $l_k=1$ в противном случае. Слагаемые сумматорной функции Лиувилля соответствуют соответствуют случайным величинам $x_k$, которые также являются случайными величинами Бернулли, с той лишь разницей, что $x_k$ принимает значение $+1,-1$. Среди первых $10$ натуральных чисел в $5$ случаях $l_k=1$ и для $5$ случаев $l_k=-1$, поэтому $P_{10}(1)= P_{10}(-1)= 0,5$.
Для сумматорной функции Мертенса $M(n)=\sum\iimits_{k=1} {\mu(k)}$. Слагаемая арифметическая функция $\mu(k)$ соответствует дискретной случайной величине $x_k$, которая принимает уже три значения $-1,0,+1$. Среди первых $10$ натуральных чисел в $4$ случаях $\mu(k)=-1$, в $3$ случаях $\mu(k)=0$ и для $4$ случаев $\mu(k)=1$, поэтому $P_{10}(-1)=0,4, P_{10}(0)= P_{10}(1)= 0,3$.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1343634 писал(а):

Для слагаемых арифметических функций $f(k)$ сумматорной арифметической функции $S(n)=\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}$, которым соответствует случайная величина $x_k(1 \leq k \leq n)$ пространство исходов однотипно, например $Q_{10}=(1,2,...,10)$, однотипно и пространство событий $A_{10}$ - это все подмножества $(1,2,...,10)$, а вероятность событий $P_{10}=N(m\in A)/10$, где $N(m\in A)$ - количество членов множества $(1,2,...,10)$, удовлетворяющих условию, зависит от вида арифметической функции.

Непонятно. Пусть мы зафиксировали какую-то функцию $f$. $S(10)$ — это случайная величина или нет?

[vicvolf]

Да, $S(n)$ при фиксированном $n$ (в частности 10) соответствует случайной величине. Лучше, чтобы отличить от значений арифметической функции обозначим ее $S_{n}$. Таким образом, сама случайная величина $S_{n}$ существует, но ее нельзя представить, как сумму слагаемых случайных величин, так как они находятся в разных вероятностных пространствах (в прошлом сообщении я указал функции распределения только для некоторых слагаемых арифметических функций). Я пытаюсь только определить предельную функцию распределения $S_{n}$ при $n \to \infty$ для некоторых случаев. Хорошо известной в этом направлении является теорема Эрдеша-Каца https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 1%86%D0%B0

[g______d]

Я думал, что если $f$ фиксирована, то $S(10)$ — это число, а не случайная величина.

Перепишите ваш текст полностью на языке множеств, отображений, определений и теорем, без всяких «соответствует». Вы заметаете проблемы под ковёр путаницы с определениями.

[vicvolf]

g______d в сообщении #1343657 писал(а):

Я думал, что если $f$ фиксирована, то $S(10)$ — это число, а не случайная величина.

Нет, это случайная величина.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1343660 писал(а):

Нет, это случайная величина.

Если $f$ фиксирована, то $f(1)$, ... ,$f(10)$ — числа, и их сумма тоже число (см. определение $S$ из вашего первого поста).

[vicvolf]

Предположим, что все случайные величины $x_n(k)$ находятся в одном вероятностном пространстве со случайной величиной $S_n$. Тогда $S_n=\sum\limits_{k=1}^n {x_n(k)}$ и $x_n(1)=f(1),x_n(2)=f(2),...,x_n(n)=f(n)$, где $S(n)=\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}$. Поэтому $S(n)=S_n$.
Для сумматорной арифметической функции - количество простых чисел, не превосходящих $n$ ее значение $S(n)=\pi(n)=\sum\limits_{k=1,k \in p}^n {1}$. В этом случае значение сумматорной функции при $n=10$ равно $S(10)=\sum\limits_{k=1,k \in p}^{10} {1}=4$, а значение случайной величины $x_{10}(k)$ равно: $x_{10}(1)=0,x_{10}(2)=1,...,x_{10}(10)=0$, поэтому $S_{10}=\sum\limits_{k=1}^{10} {x_{10}(k)}=4$.
Для сумматорной арифметической функции Мертенса $S(n)=M(n)=\sum\limits_{k=1}^n {\mu(k)}$. В этом случае значение сумматорной функции $S(10)=M(10)=-1$, также равно $S_{10}=\sum\limits_{k=1}^{10} {x_{10}(k)}=-1$.

g______d Я не понял Вас. Конечно сумматорная функция $S(n)$ при фиксированном значении $n=10$ есть число, которое зависит от слагаемой арифметической функции $f(k),(1 \leq k \leq 10)$, как показано выше.

Но меня интересует последовательность значений сумматорных арифметических функций: $S(1),...,S(n)$. Эти значения распределены вообще весьма причудливо. Если проследить за значениями таких функций, когда аргумент пробегает натуральные числа, то получится весьма хаотичная картина.

В классических исследованиях при изучении распределений таких функций обычно ограничиваюся рассмотрением среднего значения (математического ожидания) на начальном отрезке натурального ряда: $1,2,...,n$ и ищут для него асимптотические приближенные выражения от $n$ (см. Бухштаб "Теория чисел").

Однако, очевидно, что значения $S(n)$ могут значительно колебаться около среднего значения. Посмотрите, например, как колеблется функция Мертенса на этом графике https://oeis.org/A002321/graph Поэтому естественно поставить вопрос о том, насколько значения $S(n)$ отклоняются от среднего значения для различных $n$, т.е. определить дисперсию $S(n)$ и стандартное отклонение.

Желая более точно охарактеризовать распределение значений $S(n)$ на начальном отрезке натурального ряда: $1,2,...,n$, мы естественно приходим к понятию функции распределения $S(n)$ на начальном отрезке натурального ряда - $P_n(S(n)<x)=F_n(x)$, где $x \leq n$ -действительное число.

Поскольку $F_n(x)$ является функцией распределения $S(n)$ на начальном отрезке натурального ряда: $1,2,...,n$ в теоретико-вероятностном смысле, то естественно рассматривать сходимость последовательности функций распределения $F_n(x)$ для $S(n)$ на всем натуральном ряде к предельной функции распределения при определенных условиях.

[Someone]

vicvolf в сообщении #1344016 писал(а):

случайные величины $x_n(k)$ находятся

Находятся??? Может быть, определены?

[vicvolf]

Someone в сообщении #1344019 писал(а):

Находятся??? Может быть, определены?

Согласен.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1344016 писал(а):

Я не понял Вас. Конечно сумматорная функция $S(n)$ при фиксированном значении $n=10$ есть число, которое зависит от слагаемой арифметической функции $f(k),(1 \leq k \leq 10)$, как показано выше.

Ну так вы и фиксируете одну арифметическую функцию. Например, функцию Мертенса. Допустим, нам интересны свойства конкретно функции Мертенса. Тогда $S(10)$ -- это число. Вы же говорите про какую-то "функцию распределения значений $S(10)$" (это я подставил $n=10$ в ваш последний абзац).

[vicvolf]

g______d Давайте вернемся к определению вероятного пространства для арифметической функции.

vicvolf в сообщении #1343022 писал(а):

Известно, что любой начальный отрезок натурального ряда $1,2,...,n$ можно естественным образом превратить в вероятностное пространство с равномерной вероятностной мерой $(Q_n,A_n,P_n)$, взяв в качестве $Q_n=(1,2,...,n)$, $A_n$ - все подмножества $Q_n$, $P_n=N(m \in A)/n$, где $N(m \in A)$ - это количество членов отрезка натурального, удовлетворяющих условию $m \in A$. Тогда произвольную (вещественную) арифметическую функцию $f(k)$ для каждого $k(1 \leq k \leq n)$) можно представить как случайную величину $x_n(k)=f(k)$.

Аналочично определяеся вероятностное пространство для сумматорной арифметической функции. Определим на начальном отрезке натурального ряда $1,...,10$ случайную величину $S_{10}(k)=S(k),(1 \leq k \leq 10)$. Данная случайная величина в каждой точке равна значению арифметической функции: $S_{10}(1)=S(1),S_{10}(2)=S(2),...,S_{10}(10)=S(10)$. Мы ищем распределение $F_{10}(x)$ именно данной случайной величины на начальном отрезке натурального ряда $1,...,10$. Характеристическую функцию мы также ищем от случайной величины, принимающей значения: $S(1),...,S(n)$, для простоты обозначая ее $S(n)$.