Сходимость ряда в единственной точке

[Ktina]

В учебнике «ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ», на странице №84 читаю следующее:

Цитата:

Если ряд имеет вид $\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_nx^n$, то он будет сходиться в единственной точке $x=0$.

Но ведь в точке, например, $x=\dfrac{1}{2}$ мы получаем ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$, который, вроде как, тоже сходится. Чего я не понимаю?

[thething]

Это просто возможный случай, если радиус сходимости равен нулю. Например, ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}n!x^n$ сходится только в одной точке. Подставьте туда $x=\frac{1}{2}$ и сходимость не появится, поскольку сходимость ряда определяется не только иксом, но и коэффициентами.

[Ktina]

thething
Я всё равно не совсем понимаю.
«Если» - это квантор достаточного условия. Таким образом, фраза «Если ряд имеет вид $\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_nx^n$, то он будет сходиться в единственной точке $x=0$» означает, что любой ряд, имеющий такой вид, должен сходиться в единственной точке. Тем не менее, ряд, к примеру, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}1\cdot x^n$, имеющий указанный вид, сходится не в единственной точке. Следовательно, квантор достаточного условия нарушен. Или я торможу?

[thething]

Должен быть контекст. В данном случае речь идёт о рядах именно с нулевым радиусом сходимости.

-- 30.09.2018, 12:01 --

И там такой контекст есть, это первое предложение в случае 3). Правда, написано криво, обычно сперва говорят про нулевой радиус сходимости, а затем -- про то, что ряд сходится в единственной точке.

[gris]

Кстати, такое встречается и в задачниках. На форуме тоже с недоумением разбирали непонятки в простых задачах, а потом оказывалось, что на предыдущей странице было написано: "в задачах №156-168 рассматриваются непрерывные функции" или "здесь и далее мы берём стандартную колоду в 52 карты". Видимо авторы предполагают, что добросовестные студенты читают все тексты без пропусков с самого начала

[Ktina]

thething в сообщении #1342545 писал(а):

Это просто возможный случай, если радиус сходимости равен нулю.

Простите меня за занудство, но Вы снова путаете необходимое условие с достаточным. Всякая лошадь - млекопитающее, но не всякое млекопитающее - лошадь.

-- 30.09.2018, 10:36 --

gris
Там на страницах №№82-84 объясняется понятие сходимости степенного ряда. Как бы с нуля. Не думаю, что авторы подразумевали нечто, написанное на предыдущих страницах.

[thething]

Ktina в сообщении #1342558 писал(а):

Простите меня за занудство

Да ладно, чего уж там.

И Вы меня тоже простите, но читайте внимательно всё подряд, а не вырывая фразу из контекста. Повторюсь, в той методичке всё написано корректно, хоть и кривовато, имхо.

[DeBill]

Ktina в сообщении #1342558 писал(а):

Простите меня за занудство,

Извините - но - не...

Ktina в сообщении #1342558 писал(а):

Всякая лошадь - млекопитающее, но не всякое млекопитающее - лошадь.

"Всякая лошадь характеризуется параметром - радиусом крутизны ( и мастью - центром ряда). Этот параметр может принимать положительные значения (нормальная лошадь), равняться нулю (мерин) или бесконечности (КОНЬ). В первом случае все понятно. Для второго случая: если лошадь - рыжий, то его/ее параметр - рыжий, и нулевой... ". Мораль: рыжий мерин - лошадь. Но не всякий с рыжим нулевым параметром -мерин.