Докажите, что в последоватльности бесконечно много составных

[Ktina]

Докажите, что в последовательности

$$14^2+1,\quad 24^2+1,\quad 34^2+1,\quad 54^2+1,\quad 84^2+1,\quad\dots$$

бесконечно много составных чисел.

Последовательность строится так: к очередному числу Фибоначчи приписывается справа четвёрка, затем вся эта конструкция возводится в квадрат и увеличивается на 1.

[gris]

Если раскрыть скобки, то можно сразу предположить кандидата в делители. И он выигрывает гонку!

[Ktina]

gris
Не совсем понимаю. Разве среди чисел Фибоначчи бесконечно много, например, кубов?

[gris]

Если мы напишем формулу для нашей последовательности в виде $k_n=(10\cdot f_n+4)^2+1$ и предположим, что в искомой бесконечной подпоследовательности составных чисел есть подподпоследовательность чисел, кратных некоторому конкретному числу, то можем предположить, что это за число, а потом немного утомительным арифмостом подтвердить предположение. Скорее всего, есть более красивое и короткое рассуждение. А кубы как бы и не при делах вовсе.

[waxtep]

$f_9$ делится на $17$, а, значит, и $f_{18},f_{36},f_{72}\ldots$, а это уже достаточно бесконечно много

[waxtep]

А... просто $f_{9k}$ тоже подойдёт

-- 01.10.2018, 21:34 --

А вот еще: минимально возможный простой делитель у членов этой серии - $13$, и делятся на него констрюкции с номерами $28k+4$ и $28k+10$ (при нумерации с нуля, $f_0=0,f_1=1,\ldots$)

[Ktina]

gris
waxtep
Большое спасибо!