Математическое просветление

[Tiberium]

Сегодня в очередной раз задумался о том, что некоторые темы из математики даются откровенно тяжело. Например, теория меры, интеграл Лебега, которые сейчас приходится подробно изучать, "заходят" крайне непросто. Пытаюсь читать и решать задачи из Прасолова по линейной алгебре — какие-то получаются, а в каких-то тяжело даже разобрать смысл утверждения и привести какой-нибудь практический пример.

Вот я и подумал: в этом случае "practice makes perfect", или все-таки без определенного математического таланта (которого у меня, увы, явно нет и никогда не было) не получится успешно решать нетривиальные задачи теоретического характера, видеть глубокие связи математики, свободно манипулировать утверждениями и объектами.

Наблюдаю иногда за рассуждениями преподавателей в университете или решениями участников форума — это приводит в восторг. Я знаю про существование теории о 10 000+ часах, которые необходимы для мастерства, но все-таки есть ведь какая-то необходимая доля таланта, без которой даже прикладной математикой заниматься будет сложно.

Особенно было бы интересно получить ответы заслуженных участников форума — насколько легко давалось изучение математики? Были ли разделы или темы, которые сначала ни в какую не давались, а потом наступило просветление :)

Если сформулировать вопрос очень кратко: многие абстрактные понятия и доказательства (даже из вполне базовых курсов) даются мне часто непросто. Приходится читать в разных книгах, на форумах и так далее. Иногда на какое-нибудь маленькое утверждение, про которое автор пишет "очевидно" или "совершенно ясно, что" у меня уходит несколько вечеров :)

Есть ли надежда, что некоторая "математическая беглость" все-таки придет через n-ый объем практики? Или все-таки без определенного таланта не обойтись?

[worm2]

Согласен с тем, что теория меры и интеграл Лебега — вещи тяжёлые для понимания. Видимо, оттого что они довольно абстрактные, и польза от них сразу не видна.

Для понимания теории меры я бы порекомендовал изучить/освежить теорию вероятностей, ту часть, где изучаются "дискретные" и "непрерывные" случайные величины. Должно стать немножко яснее, что такое мера и какая от неё польза.

Что касается интеграла Лебега. Вся его красота раскрывается в функциональном анализе, при изучении пространств функций $L_p$. Они (в особенности, $L_2$) обладают настолько хорошими свойствами, что это оправдывает существование корявого интеграла Лебега, лежащего в их основе, он даже уже не кажется таким корявым (будь на месте интеграла Лебега интеграл Римана, таких хороших свойств не было бы). Правда, считается, что основы должны быть изучены прежде, чем то, что на них основано, но сам-то Лебег обратным путём шёл! Он озадачился проблемой построения "хороших" пространств функций и, прикинув варианты, пришёл к выводу, что интеграл его имени должен быть именно таким, и никаким иным.

Ну то есть принцип такой: найти какую-то конкретную задачу, решаемую остроумным приёмом, и понять, что обобщение этого приёма — и есть тот самый абстрактный монстр.

За себя могу сказать, что до определённого момента мне как-то легко абстрактные понятия заходили. Вот с конкретными, наоборот, были проблемы. Например, с тензорами. Тензоры тоже можно давать или сразу абстрактно-математически, или предметно-физически. У меня, если честно, с обоими подходами были проблемы. Но всё же больше со вторым. Видимо, из-за недостатка геометрического воображения.
Или вот ещё с дифурами в частных производных большие сложности были. На первой же лекции стали говорить о колебании струны, распространении тепла, характеристиках и классификации уравнений второго порядка. Это вызвало у меня протест: зайчатки физической интуиции во мне крепко спали, а как можно переходить сразу ко второму порядку, не разобрав на атомы первый — я до сих пор, кстати, не понимаю.

[Mikhail_K]

Tiberium в сообщении #1341643 писал(а):

Например, теория меры, интеграл Лебега, которые сейчас приходится подробно изучать, "заходят" крайне непросто.

Теория меры и интеграла Лебега - сложная штука. Тут надо отделить главное от второстепенного.
Главное - вот. Вначале мера определяется на семействе простейших множеств - например, промежутков на прямой, или прямоугольников (открытых, замкнутых и полу-открытых-полу-замкнутых) на плоскости, или прямоугольных параллелепипедов в $n$-мерном пространстве. Можно её определить стандартным образом: например, сказать, что мера на прямой (она же длина) для промежутков вида $(a,b)$, $[a,b)$, $(a,b]$, $[a,b]$ равна $b-a$, мера на плоскости для прямоугольников (она же площадь) равна произведению длины на ширину, и т.д. Можно нестандартным - см. про меры Лебега-Стилтьеса.
Дальше в теории меры описывается способ, который позволяет однозначным образом распространить это понятие на множества значительно более разнообразные, и находить меру практически любых множеств на прямой, плоскости и т.д. (На самом деле, не любых, но можно практически точно сказать, что если вы не поставите себе специально цель изучения неизмеримых множеств, то они Вам не встретятся. В частности, любые элементарные операции над измеримыми множествами - имеющими меру - приводят к измеримым множествам).
И вот - способ, которым понятие меры распространяется с промежутков/прямоугольников/параллелепипедов на почти произвольные множества - по большому счёту неважен. (Я про всю эту возню с порождёнными кольцами, элементарными множествами, внешней мерой. Есть и такой способ, когда вначале вводится понятие интеграла, а понятие меры определяется через него.) Важны свойства меры, которая получается в итоге. И этих важных свойств немного: неотрицательность меры, свойство сигма-аддитивности и полуаддитивности меры, да ещё тот факт, что подмножество множества меры нуль всегда измеримо и тоже имеет меру нуль.

Про интеграл Лебега. На мой взгляд, наиболее внятно, наглядно и с неформальными пояснениями про него рассказывается в книге
Натансон. Теория функций вещественной переменной
После прочтения этой книги скорее интеграл Римана начинает казаться более корявым и неестественным, чем интеграл Лебега. (Вот учебник Колмогорова-Фомина такого ощущения не даёт). В любом случае, свойства интеграла Лебега и его применения - те самые пространства $L_p$ в первую очередь - важнее, чем само его построение.

Tiberium в сообщении #1341643 писал(а):

Особенно было бы интересно получить ответы заслуженных участников форума — насколько легко давалось изучение математики? Были ли разделы или темы, которые сначала ни в какую не давались, а потом наступило просветление :)

В моём случае - практически все разделы вузовской математики. Изучать я их начинал самостоятельно, ещё когда был школьником. Помню, как мат.анализ и линейная алгебра, а затем функциональный анализ казались какой-то китайской грамотой. Секрет успеха прост - не опускать руки, перечитывать одно и то же по много раз и лучше всего по нескольким разным учебникам, решать задачи. Рано или поздно просветление наступает. И это волшебное чувство, когда кажется, что предмет, в котором ты только что еле трепыхался, теперь стал понятен и ты можешь кому угодно его объяснить.

[Tiberium]

worm2
Mikhail_K,

Спасибо за ответы!

worm2 в сообщении #1341676 писал(а):

Видимо, оттого что они довольно абстракзтные, и польза от них сразу не видна.

Да, в том и дело. В отличие от интеграла Римана, строгое и формальное построение здесь кажется искусственным.

worm2 в сообщении #1341676 писал(а):

Для понимания теории меры я бы порекомендовал изучить/освежить теорию вероятностей, ту часть, где изучаются "дискретные" и "непрерывные" случайные величины. Должно стать немножко яснее, что такое мера и какая от неё польза.

Как раз теория вероятностей — это для меня пока единственный (доступный мне на данном этапе) аргумент, которым я для себя объясняю необходимость теории меры и интеграла Лебега. Остальные "хорошести" для меня ещё, надеюсь, откроются :)

worm2 в сообщении #1341676 писал(а):

У меня, если честно, с обоими подходами были проблемы. Но всё же больше со вторым. Видимо, из-за недостатка геометрического воображения.

У меня с геометрическим воображением тоже все очень плохо. Ненавижу, когда к нему аппелируют. Обычно мне это ничего не проясняет

Mikhail_K в сообщении #1341685 писал(а):

Про интеграл Лебега. На мой взгляд, наиболее внятно, наглядно и с неформальными пояснениями про него рассказывается в книге
Натансон. Теория функций вещественной переменной

Спасибо! Я посмотрю. В Колмогорове-Фомине, которых я сейчас читаю, тоже, в общем-то, достаточно понятно все написано, но целостной картины не сложилось. Может, для этого ещё просто надо прочитать/прорешать n-ое количество страниц/задач, чтобы количество перешло в качество:)

Mikhail_K в сообщении #1341685 писал(а):

Секрет успеха прост - не опускать руки, перечитывать одно и то же по много раз и лучше всего по нескольким разным учебникам, решать задачи.

У меня так и получается сейчас. По одной и той же теме читаю в разных учебниках, лекциях. Где-то что-то обязательно сформулировано необычно, и это помогает, наверное, лучше разобраться.

Mikhail_K в сообщении #1341685 писал(а):

И это волшебное чувство, когда кажется, что предмет, в котором ты только что еле трепыхался, теперь стал понятен и ты можешь кому угодно его объяснить.

Я сейчас на первом курсе магистратуры, и у меня это ощущение только-только начинает (с опозданием большим) появляеться относительно математического анализа и линейной алгебры первых двух семестров :)

Вроде бы, читал все то же самое и старался вникать, но многие понятия "кликают" только сейчас. Надеюсь, когда-нибудь с более сложными предметами это тоже произойдет)

[wrest]

Матан это сила.
Где-то к кажется к середине второго курса (я учился в техническом вузе по инженерной специальности) после марафонского забега по взятию немереного количества неопределенных интегралов было ощущение что видишь мир насквозь.
Потом, правда, оказалось что в мире есть функан, УРЧП и ураматы. И ощущение прошло.

[demolishka]

Теория меры развивалась минимум полвека, благодаря величайшим умам, и окончательный вид приняла относительно недавно. Нет ничего удивительного в том, что при первом столкновении с идеями и конструкциями этой теории возникают трудности. Странным скорей было бы обратное.

Вообще, скорость понимания любой науки зависит от того сталкивались ли вы с ее идеями и техниками раньше. А само понимание это уже ощущение почему для реализации той или иной идеи используется данная техника. Ощущения приходят только с опытом.

[Tiberium]

demolishka в сообщении #1341888 писал(а):

Вообще, скорость понимания любой науки зависит от того сталкивались ли вы с ее идеями и техниками раньше. А само понимание это уже ощущение почему для реализации той или иной идеи используется данная техника. Ощущения приходят только с опытом.

Ещё мне всегда было интересно: по крайней мере в математическом анализе многие известные теоремы и утверждения доказываются плюс-минус одинаково (идейно) в различных учебниках. И преподаватель, как правило, использует те же самые методы и идеи.

Дельта-эпсилоны, крайне удачно подобранные, арифметические трюки, оценки, которые помогают при доказательстве, на мой взгляд, далеко не всегда очевидны, если не знать, что "так надо".

Даже преподаватели при доказательстве на вопрос "А почему мы сейчас взяли именно такую функцию или такой эпсилон/дельта/эн и т.д.", отвечает, что в конце будет понятно почему.

Конечно, очень многие утверждения доказываются достаточно просто, и никакой магии там нет. Но в ряде случаев создается ощущение, что доказательство даже у преподавателя не получилось бы так просто, если бы не было известно, что нужно использовать тот или иной финт ушами. Это раздажает, но я понимаю, что без этого никак

[thething]

Tiberium в сообщении #1341891 писал(а):

Даже преподаватели при доказательстве на вопрос "А почему мы сейчас взяли именно такую функцию или такой эпсилон/дельта/эн и т.д.", отвечает, что в конце будет понятно почему.

А я всегда (кроме самых-самых очевидных случаев) оставляю место рядом\под эпсилоном и говорю: "А вот тут надо на что-то домножить\поделить, пока непонятно, на что, как дойдём до конца, так сюда вернемся и допишем".

-- 27.09.2018, 18:49 --

Tiberium в сообщении #1341878 писал(а):

Может, для этого ещё просто надо прочитать/прорешать n-ое количество страниц/задач, чтобы количество перешло в качество:)

Рекомендую (хоть Вы об этом и не просили) книгу Ульянова П.Л. Действительный анализ в задачах.

[Tiberium]

thething в сообщении #1341937 писал(а):

А я всегда (кроме самых-самых очевидных случаев) оставляю место рядом\под эпсилоном и говорю: "А вот тут надо на что-то домножить\поделить, пока непонятно, на что, как дойдём до конца, так сюда вернемся и допишем".

Здорово. Это ведь и более естественный ход доказательства, мне кажется. Лектор по сути демонстрирует студентам ход рассуждений, который позволяет доказать истинность утверждения. При этом мне кажется каким-то мошенничеством взять сразу "правильные" эпсилоны, словно это инсайт :)

Сегодня как раз читал статью Тао про приемы доказательства и решения задач:

Цитата:

15. Don’t worry too much about exactly what $\varepsilon$ (or $\delta$, or $N$, etc.) needs to be. It can usually be chosen or tweaked later if necessary.

Когда только начинал привыкать к эпсилон-дельта доказательствам, мне казалось магией, когда брались нужные эпсилоны, а в итоге все аккуратно суммировалось к эпсилону.

thething в сообщении #1341937 писал(а):

Рекомендую (хоть Вы об этом и не просили) книгу Ульянова П.Л. Действительный анализ в задачах.

Это клад какой-то. Большое спасибо:) Если есть ещё какие-то классные книги, которые Вы могли бы порекомендовать, буду очень благодарен. Не обязательно по вещественному анализу.

[demolishka]

Tiberium в сообщении #1341891 писал(а):

финт ушами.

Это кажется трюком только потому, что Вы впервые с этим сталкиваетесь. Со временем придет осознание того, что иначе-то здесь и быть не могло.

[StaticZero]

Tiberium в сообщении #1341949 писал(а):

мне казалось магией, когда брались нужные эпсилоны, а в итоге все аккуратно суммировалось к эпсилону.

Можно начать с просто эпсилона, а в конце получить эпсилон, умноженный на константу. А если эпсилон всякий, то больше ничего и не надо...

[Tiberium]

У меня ещё такой вопрос: где грань между real analysis (ТФДП), теорией меры и интегралом Лебега и функциональным анализом. Столько разных курсов, и везде последовательность и содержание отличаются. Где-то два том про теорию меры, где-то она дается перед интегралом Лебега в рамках курса функционального анализа. Такое ощущение, что книги по ТФДП и функциональному анализу имеют солидное пересечение.

[Mikhail_K]

Tiberium в сообщении #1342540 писал(а):

У меня ещё такой вопрос: где грань между real analysis (ТФДП), теорией меры и интегралом Лебега и функциональным анализом.

Эта грань - вопрос соглашения, но, по-моему, её вполне можно провести.

Функциональный анализ - это теория функционалов и операторов в бесконечномерных линейных пространствах, ну и заодно теория самих этих пространств.

Действительный анализ - это теория меры и интеграла Лебега, не содержащая упоминания ни о каких пространствах (разве что об "измеримых пространствах"). Разумеется, у действительного анализа есть приложения к функциональному анализу - например, пространства Лебега $L_p$, определяемые через интеграл Лебега, я бы отнёс к функциональному анализу - именно потому что это линейные бесконечномерные пространства.

Есть ещё одна нечёткая грань - между функциональным анализом и общей топологией. Тут я бы провёл её так: где есть линейные бесконечномерные пространства - там функциональный анализ, а где пространства не линейные - там общая топология. С этой точки зрения, теория метрических пространств относится именно к общей топологии. А, скажем, теория линейных топологических пространств - к функциональному анализу.

То есть функциональный анализ - там, где рассматриваются множества, на которых одновременно определены согласованные друг с другом линейная структура, как в линейной алгебре, и топологическая, как в топологии (например вводимая с помощью нормы). При этом тривиальный случай конечномерных линейных пространств (где все нормы эквивалентны и нет разнообразия топологических структур, согласованных с линейной структурой) относят к линейной алгебре.

----------

Повторюсь, все эти грани - вопрос соглашения, и о них можно особо не задумываться. Зачастую в книгах по функциональному анализу излагается материал и по действительному анализу, и по общей топологии, и по наивной теории множеств. Ну а что поделать - в функциональном анализе, понимаемом в узком смысле (как теория функционалов и операторов в линейных бесконечномерных пространствах) все эти дисциплины используются. Так что бывает разумно их склеить вместе в один предмет, хотя и получающийся несколько разнородным по тематике.

[Qlin]

Tiberium в сообщении #1341891 писал(а):

Даже преподаватели при доказательстве на вопрос "А почему мы сейчас взяли именно такую функцию или такой эпсилон/дельта/эн и т.д.", отвечает, что в конце будет понятно почему.

Преподаватели чего? Где вы учитесь?

[Vladimirkey]

Интересный вопрос. На сколько я понимаю, есть математики, которые никак не связаны с физикой, но им как-то удается понимать абстрактные вещи, не переводя их на реальной мир и связывать с этим, назревает вопрос: как научиться мыслить оторванно от реального мира, т.е все выводы, теоремы, доказательства просто воспринимать как игру неких чисел(абстрактных) с правилами игры, наверное в этом кроется математик и его прозрение?