Кривые с трапециями

[Ioda]

Доказать, что на любой самонепересекающейся замкнутой кривой на плоскости найдутся 4 точки ,являющиеся вершинами трапеции . Доказать тоже самое для прямоугольной трапеции . При желании можете доказать это же и для равнобокой трапеции (у меня не вышло).

[StaticZero]

Зададим кривую так: определяющее её параметрическое отображение $\gamma: [0, 1] \mapsto \mathbb R^2$ непрерывно и таково, что $\gamma(t_1 | t_1 \ne t_2) \ne \gamma(t_2)$, если $t_1, t_2 \in [0, 1)$, и $\gamma(0) = \gamma(1)$.

Посадим начало полярных координат в точку $X_0 \in \operatorname{Int} \gamma$. Ясно, что полярный угол при обходе кривой будет меняться непрерывно в промежутке $[0, 2\pi)$ и точно примет все значения из этого промежутка. Возьмём какую-нибудь точку $A$ на кривой, что её полярный угол $\varphi_0$. Проведём прямую, содержащую радиус точки $A$. Она пересечёт кривую в точках $A$ и $A'$, причём $A'$ такова, что её полярный угол $\pi + \varphi_0$.

Сдвинем начало полярных координат в точку $X_1 \in \operatorname{Int} \gamma$ без изменения ориентации (ось $\varphi = 0$ сдвигается параллельно сама себе). Замечание про диапазон измерения полярных координат имеет место и здесь. Таким образом, мы можем найти точку $B$ на кривой, что её полярный угол и в сдвинутой системе координат $\varphi_0$. Проводим ещё одну прямую, содержащую радиус $B$. Она пересечёт кривую дополнительно ещё и в точке $B'$ такой, что её полярный угол $\pi + \varphi_0$. Так как ориентации двух систем координат одинаковы, отрезки $AA'$ и $BB'$ параллельны. Доказали.

-- 24.09.2018, 22:18 --

Для прямоугольной можно тоже нетрудно доказать, если у кривой $\gamma$ во всех точках есть касательная (ну, или за исключением конечного (или счётного?) количества точек). Расписывать не хочется, рисунок прилагается.

Идея в том, что под каким углом к зелёной касательной в точке $A'$ ни пришёл бы красный отрезок (предполагается, что все точки отрезка лежат в $\operatorname{Int} \gamma$), можно из точки $A'$ провести синюю прямую ортогонально красному и она всегда пересечёт кривую в ещё одной точке $B$, образуя синий отрезок. Если производная есть и в точке $B'$, то можно провести красную прямую ортогонально синей, чтобы она пересекла кривую в точке $B'$. По построению $AA'$ и $BB'$ параллельны и $A'B \perp BB'$.

[StaticZero]

Касательно равнобокой трапеции. Мы показали, что для любой ориентации отрезка, соединяющего точки кривой и лежащего в её внутренности целиком, можно подобрать второй такой же, ему параллельный. Вот на рисунке какая-то трапеция. Зелёная сторона не равна синей.

Составим функцию $f = \ell_\text{зелен} - \ell_\text{син}$, где $\ell_i$ --- длина боковой стороны $i$. Фиксируем её значение $M$.

Начнём непрерывно поворачивать красные основания против часовой стрелки. Функция зависит от ориентации оснований и как-то меняется. Однако, когда мы повернём основания на $\pi$, зелёная сторона станет на место синей и наоборот. Функция $f$ изменит знак и станет равной $-M$. Поворачивая дальше до угла $2\pi$, мы возвращаем ситуацию на старте, и наша функция становится опять равной $M$. Поскольку она непрерывна и у неё есть значения как больше, так и меньше нуля, то есть такая ориентация красных оснований, при которой она просто равна нулю. А эта ситуация и соответствует равнобокой трапеции. Доказали.

-- 24.09.2018, 22:41 --

Меняем ориентацию оснований вращением вокруг оси, ортогональной рисунку и проходящую через, скажем, точку на левом основании, фиксируя при этом высоту трапеции.

[StaticZero]

Нет, все неправильно. Меняем ориентацию красных вращением вокруг оси, которая находится где-то посередине между двумя основаниями. Не знаю только, важно ли, где именно; смысл в том, что трапеция должна развернуться в ту же позицию. Можно для начала взять её на линии, соединяющей середины оснований.

[kotenok gav]

Полезная ссылка:
http://www.webpages.uidaho.edu/~markn/squares/
Вам подходят теоремы C и B.

[Ioda]

StaticZero ,неплохо, я восхищен. kotenok gav ,благодарю за ссылку.

[grizzly]

Ioda
Неплохой обзор на русском можно посмотреть в Википедии. На форуме тоже было, но лень искать. Впрочем, это не мешает искать интересные решения в частных случаях (как раз для этого раздела).

[kotenok gav]

grizzly в сообщении #1341449 писал(а):

На форуме тоже было, но лень искать.

post1122470.html#p1122470

[Ioda]

grizzly, о гипотезе знал ,но не знал кто ее предложил (про Тёплица). За статью спасибо.