Доказать, что последовательность бесконечно большая.

[bitcoin]

$x_n=n\sin n$

Можно ли сделать такой трюк? Рассмотрим последовательность $y_n=\dfrac{1}{x_n}$. Если мы докажем, что она бесконечно малая. то $n\sin$ будет бесконечно большой. $y_n=\dfrac{1}{n\sin n}$. Если мы докажем, что последовательность $\dfrac{1}{\sin n}$ является ограниченной, то сразу из этого будет следовать, что произведение бесконечно малой $\dfrac{1}{n}$ и ограниченной $\dfrac{1}{\sin n}$ будет являться бесконечно малой, то есть $y_n$ будет бесконечно малой и $x_n$ бесконечно большой.
То есть я свел вопрос к доказательству ограниченности $\dfrac{1}{\sin n}$. Попробуем:

Пусть $n=2m$

$\dfrac{1}{\sin n}=\dfrac{\sin^2m+\cos^2m}{2\sin m\cos m}=\dfrac{1+\tg^2m}{2\tg m}\le \dfrac{1+\tg^2m}{\tg m}=\dfrac{1}{\tg m}+\tg m$

Но мы ведь знаем, что сумма взаимно обратных чисел будет по модулю более 2. Но это ничего не дает, так как нужна оценка с другой стороны.

Можете подсказать, пожалуйста, в каком направлении думать?

[Dan B-Yallay]

bitcoin в сообщении #1339402 писал(а):

Если мы докажем, что последовательность $\dfrac{1}{\sin n}$ является ограниченной,

Вы этого не сможете доказать, поэтому ищите другой путь.

[Xaositect]

Это неправильный подход, $1/\sin n$ не является ограниченной.
Для начала попробуйте доказать, что $\sin n$ будет достаточно часто иметь достаточно большое значение (например, больше $1/2$).

[bitcoin]

Dan B-Yallay в сообщении #1339405 писал(а):

Вы этого не сможете доказать, поэтому ищите другой путь.

Да я уже искал, но ни к чему хорошему не привело. Искал по определению бесконечно большой последовательности в лоб.

То есть пытался доказать, что $|n\sin n|>M$ для любого $M$ начиная с некоторого номера $N$. Но что-то это ничего не дает((

-- 16.09.2018, 17:30 --

Xaositect в сообщении #1339408 писал(а):

Попробуйте доказать, что $\sin n$ будет достаточно часто иметь достаточно большое значение (например, больше $1/2$).

Странно, но мне кажется, что не будет такого, например $\sin 3<0,5$. Наверняка вы имели ввиду, что при больших $n$ начиная с некоторого номера, но все равно, мне что-то кажется, что это не будет выполняться....

[thething]

bitcoin в сообщении #1339410 писал(а):

Наверняка вы имели ввиду, что при больших $n$ начиная с некоторого номера

Не для всех, начиная с некоторого номера, а для некоторой подпоследовательности номеров

[Dan B-Yallay]

bitcoin в сообщении #1339410 писал(а):

Странно, но мне кажется, что не будет такого, например $\sin 3<0,5$.

А $\sin 14 =0.990607...$

[Xaositect]

Так, стоп. Я только сейчас прочитал заголовок.
Откуда у Вас задача? Последовательность $n \sin n$ не является бесконечно большой.

[Otta]

... но является неограниченной.

[bitcoin]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=n(sin+n),+n+to+infinity

[Xaositect]

Альфа врет, бывает.

[bitcoin]

Вообще, было задание найти предел последовательности $n\sin n$. Но он ведь бесконечность? Значит нужно доказать, что послед. бесконечно большая, правильно ведь?

[Xaositect]

bitcoin в сообщении #1339426 писал(а):

Вообще, было задание найти предел последовательности $n\sin n$. Но он ведь бесконечность?

Нет.

[thething]

Почему врёт? Честно показывает несуществование предела

[bitcoin]

Xaositect в сообщении #1339425 писал(а):

Альфа врет, бывает.

Ого, интересно, сейчас над ограничениями на синус тогда буду думать, спасибо

[Otta]

thething в сообщении #1339428 писал(а):

Почему врёт? Честно показывает несуществование предела

Угу.