2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать, что последовательность бесконечно большая.
Сообщение16.09.2018, 17:18 


19/04/18
207
$x_n=n\sin n$

Можно ли сделать такой трюк? Рассмотрим последовательность $y_n=\dfrac{1}{x_n}$. Если мы докажем, что она бесконечно малая. то $n\sin$ будет бесконечно большой. $y_n=\dfrac{1}{n\sin n}$. Если мы докажем, что последовательность $\dfrac{1}{\sin n}$ является ограниченной, то сразу из этого будет следовать, что произведение бесконечно малой $\dfrac{1}{n}$ и ограниченной $\dfrac{1}{\sin n}$ будет являться бесконечно малой, то есть $y_n$ будет бесконечно малой и $x_n$ бесконечно большой.
То есть я свел вопрос к доказательству ограниченности $\dfrac{1}{\sin n}$. Попробуем:

Пусть $n=2m$

$\dfrac{1}{\sin n}=\dfrac{\sin^2m+\cos^2m}{2\sin m\cos m}=\dfrac{1+\tg^2m}{2\tg m}\le \dfrac{1+\tg^2m}{\tg m}=\dfrac{1}{\tg m}+\tg m$

Но мы ведь знаем, что сумма взаимно обратных чисел будет по модулю более 2. Но это ничего не дает, так как нужна оценка с другой стороны.

Можете подсказать, пожалуйста, в каком направлении думать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что последовательность бесконечно большая.
Сообщение16.09.2018, 17:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10377
bitcoin в сообщении #1339402 писал(а):
Если мы докажем, что последовательность $\dfrac{1}{\sin n}$ является ограниченной,
Вы этого не сможете доказать, поэтому ищите другой путь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что последовательность бесконечно большая.
Сообщение16.09.2018, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Это неправильный подход, $1/\sin n$ не является ограниченной.
Для начала попробуйте доказать, что $\sin n$ будет достаточно часто иметь достаточно большое значение (например, больше $1/2$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что последовательность бесконечно большая.
Сообщение16.09.2018, 17:26 


19/04/18
207
Dan B-Yallay в сообщении #1339405 писал(а):
Вы этого не сможете доказать, поэтому ищите другой путь.

Да я уже искал, но ни к чему хорошему не привело. Искал по определению бесконечно большой последовательности в лоб.

То есть пытался доказать, что $|n\sin n|>M$ для любого $M$ начиная с некоторого номера $N$. Но что-то это ничего не дает((

-- 16.09.2018, 17:30 --

Xaositect в сообщении #1339408 писал(а):
Попробуйте доказать, что $\sin n$ будет достаточно часто иметь достаточно большое значение (например, больше $1/2$).

Странно, но мне кажется, что не будет такого, например $\sin 3<0,5$. Наверняка вы имели ввиду, что при больших $n$ начиная с некоторого номера, но все равно, мне что-то кажется, что это не будет выполняться....

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что последовательность бесконечно большая.
Сообщение16.09.2018, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1443
Антарктика
bitcoin в сообщении #1339410 писал(а):
Наверняка вы имели ввиду, что при больших $n$ начиная с некоторого номера

Не для всех, начиная с некоторого номера, а для некоторой подпоследовательности номеров

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что последовательность бесконечно большая.
Сообщение16.09.2018, 17:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10377
bitcoin в сообщении #1339410 писал(а):
Странно, но мне кажется, что не будет такого, например $\sin 3<0,5$.
А $\sin 14 =0.990607...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что последовательность бесконечно большая.
Сообщение16.09.2018, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Так, стоп. Я только сейчас прочитал заголовок.
Откуда у Вас задача? Последовательность $n \sin n$ не является бесконечно большой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что последовательность бесконечно большая.
Сообщение16.09.2018, 17:50 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
... но является неограниченной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что последовательность бесконечно большая.
Сообщение16.09.2018, 17:50 


19/04/18
207
http://www.wolframalpha.com/input/?i=n(sin+n),+n+to+infinity

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что последовательность бесконечно большая.
Сообщение16.09.2018, 17:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Альфа врет, бывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что последовательность бесконечно большая.
Сообщение16.09.2018, 17:55 


19/04/18
207
Вообще, было задание найти предел последовательности $n\sin n$. Но он ведь бесконечность? Значит нужно доказать, что послед. бесконечно большая, правильно ведь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что последовательность бесконечно большая.
Сообщение16.09.2018, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
bitcoin в сообщении #1339426 писал(а):
Вообще, было задание найти предел последовательности $n\sin n$. Но он ведь бесконечность?
Нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что последовательность бесконечно большая.
Сообщение16.09.2018, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1443
Антарктика
Почему врёт? Честно показывает несуществование предела

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что последовательность бесконечно большая.
Сообщение16.09.2018, 17:56 


19/04/18
207
Xaositect в сообщении #1339425 писал(а):
Альфа врет, бывает.

Ого, интересно, сейчас над ограничениями на синус тогда буду думать, спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что последовательность бесконечно большая.
Сообщение16.09.2018, 18:03 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
thething в сообщении #1339428 писал(а):
Почему врёт? Честно показывает несуществование предела

Угу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: B@R5uk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group