Кольцо и шарик

[dovlato]

Неподвижно закреплённое однородное тонкое кольцо радиуса $R$ несёт заряд $Q$.
Около этого кольца находится маленький незаряженный шарик из хорошо проводящего материала, имеющего плотность $\rho$.
Найти возможные точки равновесия шарика, и частоты его малых колебаний вдоль нормали, проходящей через центр кольца.

[wrest]

dovlato
Так по теореме Иншоу, такие равновесия неустойчивы, разве нет?

[dovlato]

Ну допустим, он может скользить без трения по спице, нормальной к плоскости кольца и проходящей через его центр.

[AnatolyBa]

(теорема Ирншоу)

Строго говоря, классическая теорема Ирншоу здесь не применима, т. к. мы имеем нейтральный шарик в котором наводится дипольный момент.
Существует обобщение теоремы на случай наведенных диполей. Об этом упоминается в справочниках, но доказательства в нормальных учебниках не приводится, что вообще-то любопытно.
Хотя доказательство, по-видимому, не такое уж и сложное.

[pogulyat_vyshel]

AnatolyBa в сообщении #1339200 писал(а):

Об этом упоминается в справочниках, но доказательства в нормальных учебниках не приводится, что вообще-то любопытно.

Я так понимаю, что вся эта "теорема Ирншоу" вытекает из утверждения, обратного теореме Лагранжа-Дирихле. Обращение этой теоремы (для аналитических систем) появилось совсем недавно в 80-х годах прошлого века. Физикам эта проблематика, естественно, неизвестна. Как и вопросы стабилизации частицы гироскопическими (силой Лоренца) силами.

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1339212 писал(а):

Физикам эта проблематика, естественно, неизвестна. Как и вопросы стабилизации частицы гироскопическими (силой Лоренца) силами.

Из чистой вредности. Проблема устойчивости в постоянных электромагнитных полях была решена немецким физиком Браунбеком (W. Braunbek) и опубликована в Z. Phys. Bd 112. S. 753–763 в 1939 году. В этой статье было показано, что в постоянном электрическом поле, в отличии от постоянного магнитного, нет устойчивого равновесия поляризуемых тел, поскольку статическая диэлектрическая проницаемость не может быть отрицательной. К теореме Ирншоу это утверждение отношения не имеет.

[pogulyat_vyshel]

Вы не могли бы выписать дифференциальные уравнения из цитированной вами статьи и сформулировать соответствующую теорему о неустойчивости.

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1339237 писал(а):

Вы не могли бы выписать дифференциальные уравнения из цитированной вами статьи и сформулировать соответствующую теорему о неустойчивости.

Сий секунд не смогу, надо в книжку залезть. Завтра или послезавтра попробую.

[AnatolyBa]

Да, Браунбек, Вернер. Статья 1939 года, на немецком. Вредности ради (да, я тоже) замечу, что физическая энциклопедия называет его работу обобщением теоремы Ирншоу. Хотя сам Ирншоу ни при чем.
Классическая теорема основана, грубо говоря, на том, что потенциал (удовлетворяющий уравнению Лапласа) не имеет локальных экстремумов вне тел.
Обобщение же основано на том, что квадрат напряженности не может иметь локальных максимумов, хотя может иметь локальные минимумы.
Этот факт, возможно для математиков тривиальный или общеизвестный, мне, смертному, пришлось доказывать самому, т. к. статья с одного клика не нашлась, а дальше искать было лень.
На сем кончаю. Хотелось бы, чтобы кто-нибудь все же довел решение задачи до формулы.

[pogulyat_vyshel]

Пока, к сожалению, тут просматривается полное непонимание вещей, на которых такие теоремы основаны. И я сильно подозреваю, особенно после последнего поста, что указанная статья на немецком ни каких доказательств на самом деле не содержит. Так что, amon, жду с нетерпением:)

[mihiv]

Максимум электрического поля на оси, проходящей через центр, достигается в точке на расстоянии $\frac R{\sqrt 2}$ от центра кольца ($R$- радиус кольца). Наведенный диполь втягивается в область более сильного поля. Поэтому он будет колебаться около этой точки. Частота колебаний получилась у меня: $\omega =\frac1{\sqrt \pi }(\frac 23)^{\frac 32}\dfrac Q{\sqrt {\rho }R^3}$

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1339277 писал(а):

Так что, amon, жду с нетерпением:)

Статью добыл, выложу завтра, 18.09.18. (сегодня не получается). Извиняюсь за задержку.

[pogulyat_vyshel]

Я по немецки ни бум-бум ,если что
Так что будет a lot of questions:)

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1339835 писал(а):

Я по немецки ни бум-бум ,если что

Аналогично. Если честно, то я об этой статье знал давно, но открыл ее только что.Вот она.Итак,

pogulyat_vyshel в сообщении #1339237 писал(а):

сформулировать соответствующую теорему о неустойчивости.

Насколько мне позволяет немецкий моей дочки, утверждение такое:
"Статическое стабильное свободное парение (плавание, левитация) системы I в электрическом, магнитном и гравитационном поле системы II невозможно, если по крайней мере одна из систем не содержит диамагнетика." (Возможность левитации при наличии диамагнетика, в этой статье не исследуется). Всяко-разно про левитацию диамагнетиков исследуются до сих пор.

pogulyat_vyshel в сообщении #1339237 писал(а):

Вы не могли бы выписать дифференциальные уравнения из цитированной вами статьи

Как я понимаю, там выписывается энергия одного тела в поле другого и обыгрывается отрицательность второй производной по координатам тела при сдвиге его как целого (повороты, как я понял, не рассматриваются). В этом случае для электрического поля получается (с точностью до знака) формула (14) из статьи:

$$ \delta^2 W_e= -\int\left((\delta E)^2+\frac{(\delta P)^2}{\varepsilon-1}\right), $$

где $\delta E$ и $\delta P$ изменение напряженности поля и поляризации при малом сдвиге тела как целого. Эта величина может оказаться положительной только если статическая диэлектрическая проницаемость окажется меньше единицы, а такого не бывает. Аналогичная формула для магнетиков не запрещает левитации, поскольку есть вещества с магнитной проницаемостью меньшей единицы. Позднее автор продемонстрировал висение куска, если мне память не изменяет, графита в магнитном поле, чем подтвердил возможность такого явления.

Крушите ;)

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1339961 писал(а):

Крушите ;)

А нечего крушить. Я ни хрена не понял. Вернусь к моим комментариям выше. У меня сложилось впечатление, что в "теореме Ирншоу" речь идет о натуральной лагранжевой системе $L=T-V$, где потенциал -- гармоническая функция: $\Delta V=0$ в какой-то области. Отсюда делается вывод, что раз потенциал не может достигать ни максимума ни минимума в области, то все положения равновесия неустойчивы. Это верно. Но только это верно в силу весьма нетривиальных результатов, полученных в самом конце 20 века. И я сомневаюсь, что в текстах по теореме Ирншоу есть на них ссылки. Условие гармоничности тут тоже используется куда глубже, чем просто теорема максимума.