Доказать, что последовательность монотонно убывает

[szh]

Добрый день,

Столкнулся с такой задачей. Есть последовательность, заданная рекурентной формулой $a_{n + 1} = \frac{2 + a_n^2}{2a_n}$, $a_1 > 2$. Необходимо доказать, что она монотонно убывает и ограничена снизу. Если это действительно так, то найти её предел.

Ограниченность доказывается легко при помощи математической индукции. Пусть последовательность ограничена снизу, например, нулём (т.е. принимает исключительно положительные значения). Действительно, для $a_1$ это так (см. условие). Далее, если $a_n > 0$, то и $a_{n + 1} > 0$. Т.к. $a_n$ положительно исходя из предположения, то и вся дробь $\frac{2 + a_n^2}{2a_n}$ будет предсказуемо больше 0. Чем, как я понимаю, и доказывается ограниченность последовательности нулём.

Предел найти также оказалось довольно легко. Пусть доказано, что последовательность действительно монотонно убывает и ограничена снизу. Тогда, по теореме Вейерштрасса, она необходимо имеет предел. Тут последовательности $a_{n + 1}$ и $a_n$ имеют один и тот же предел, допустим $a$ (обе пробегают одни и те же значения, с точностью до последнего члена). Тогда можно записать $a = \frac{2 + a^2}{2a}$. Из уравнения следует, что $a = \pm \sqrt{2}$. Но т.к. последовательность не может иметь более двух пределов, а эта ограничена снизу 0 (принимает только положительные значения), то пределом будет $\sqrt{2}$.

Осталось доказать, что последовательность является монотонно убывающей. Как это сделать, пока не представляю. Испольование производных здесь не предполагается.

[Otta]

Из рекуррентной записи найдите отношение $a_{n+1}/a_n$.

[szh]

Otta в сообщении #1339177 писал(а):

Из рекуррентной записи найдите отношение $a_{n+1}/a_n$.

Я обычно привык монотонность рассматривать исходя из разностей $a_{n + 1} <> a_n$. Оказывается, и так можно.

Ну тогда можно пересмотреть ограниченность снизу. При помощи математической индукции можно доказать, что она ограничена снизу единицей. Для $a_1$ это верно исходя из условия. Тогда, если $a_n > 1$, тогда и $a_{n + 1} > 1$. Получается $\frac{2 + a_n^2}{2a_n} > 1 \Leftrightarrow \frac{a_n^2 + 2 - 2a_n}{2a_n} > 0 \Leftrightarrow \frac{a_n^2 - 2a_n + 1 + 1}{2a_n} > 0 \Leftrightarrow \frac{(a_n - 1)^2 + 1}{2a_n} > 0$. Знаменатель положителен исходя из предположения, числитель также положителен. Этим доказано, что последовательность ограничена снизу единицей.

Можно рассмотреть монотонность. $\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{2 + a_n^2}{2a_n} \cdot \frac{1}{a_n} = \frac{2 + a_n^2}{2a_n^2}$. Т.к. доказано, что $a_n > 1$, то интуитивно видно, что $2 + a_n^2 < 2a_n^2$. Числитель меньше знаменателя, а значит $a_{n + 1} < a_n$. Этим доказано, что она монотонно убывает. Только не могу вспомнить, как называется теорема, по которой $C + k < Ck$, где $C, k \in N$?

[thething]

szh в сообщении #1339181 писал(а):

Только не могу вспомнить, как называется теорема, по которой $C + k < Ck$

Странная какая-то теорема.

А попробуйте-ка доказать, что $a_n>\sqrt{2}$

[szh]

thething в сообщении #1339183 писал(а):

szh в сообщении #1339181 писал(а):

Только не могу вспомнить, как называется теорема, по которой $C + k < Ck$

Странная какая-то теорема.

А попробуйте-ка доказать, что $a_n>\sqrt{2}$

Да. Поспешил. Неправильно. Такой нет вообще.

[thething]

Если что, мой совет не был контрпримером. С его помощью докажете монотонность, если ту дробь разобьете на две.

[szh]

thething в сообщении #1339185 писал(а):

Если что, мой совет не был контрпримером. С его помощью докажете монотонность, если ту дробь разобьете на две.

Действительно, легко доказывается, что последовательность ограничена $\sqrt{2}$. Доказывается так же матиндукцией. Получается, $a_{n + 1} > \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{(a_n - \sqrt{2})^2 + 2 - \sqrt{2}}{2a_n} > 0$. Знаменатель положителен из предположения. Числитель также положителен. Таким образом, доказано, что последовательность ограничена снизу $\sqrt{2}$.

Как разбить дробь, не понял. Тут получается, что дробь $\frac{a_{n + 1}}{a_n}$ всегда положительна и должна быть $< 1$ (чтобы числитель был меньше знаменателя). Получается $\frac{2 + a_n^2}{2a_n^2} < 1 \Leftrightarrow \frac{2 - a_n^2}{2a_n^2} < 0$. Знаменатель всегда больше нуля. Значит, числитель должен быть меньше нуля. Тут уже доказано, что раз $a_n > \sqrt{2}$, то и $a_n^2 > 2$. Поэтому числитель не может быть положительным. Этим доказана, что последовательность монотонно убывает.

[thething]

szh в сообщении #1339187 писал(а):

Получается, $a_{n + 1} > \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{(a_n - \sqrt{2})^2 + 2 - \sqrt{2}}{2a_n} > 0$

Тут ошибка

szh в сообщении #1339187 писал(а):

Как разбить дробь, не понял

Та дробь, которая получилась при проверке монотонности. Избавьтесь от общего знаменателя, разбив на сумму двух дробей

[szh]

thething в сообщении #1339188 писал(а):

szh в сообщении #1339187 писал(а):

Получается, $a_{n + 1} > \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{(a_n - \sqrt{2})^2 + 2 - \sqrt{2}}{2a_n} > 0$

Тут ошибка

Действительно, дробь проще --- $\frac{(a_n - \sqrt{2})^2}{2a_n} > 0$. Ну а там уже понятно. Спасибо.