Непосредственно из формулы Стирлинга следует, что

[R_e_n]

Непосредственно из формулы Стирлинга следует, что для $ \alpha \in (0;1) $ верно

$$C_{n}^{{\alpha n}}\sim {\sqrt {{\frac {1}{2\pi \alpha (1-\alpha )n}}}}\left({{\frac {1}{\alpha }}}\right)^{{\alpha n}}\left({{\frac {1}{1-\alpha }}}\right)^{{(1-\alpha )n}}=\left({{\frac {1}{\alpha ^{\alpha }{(1-\alpha )}^{{(1-\alpha )}}}}+o(1)}\right)^{{n}}$$

Биномиальный коэффициент
Как получено последнее равенство?

[Otta]

А какие, собственно, проблемы у Вас возникли? Два последних множителя умножили на первый, представленный в виде $(1+o(1))^n$

[R_e_n]

Спасибо за ответ. А по какой формуле первый множитель представили в таком виде?

[Otta]

Ни по какой. В этом месте предполагалось, что читатель обратит внимание, что

$$\lim_{n\to\infty}\left({\frac {1}{2\pi \alpha (1-\alpha )n}}\right)^\frac 1{2n} =1$$

означает, собственно, требуемое. :)