Гипотеза Линделефа

[Skipper]

Давно не писали по теме..
Вот что подумалось. Есть такой метод упрощения доказательств "разделяй и властвуй".
Гипотеза Линделефа - следует из гипотезы Римана, но не наоборот.

Значит, если пытаться доказывать напрямую гипотезу Римана, то шансов видимо, будет меньше, т.к.
гипотеза Римана - более сильное утверждение чем Гипотеза Линделефа.

Если рассматривать и пытаться доказывать сначала более слабое утверждение - шансы растут.
Доказали бы г. Линделёфа и из идей этого доказательства можно было бы почерпнуть что то новое для
доказательства г.Римана.

Но и Линделёфа пока никто доказать не смог. Значит, можно рассматривать какое то , еще более слабое
утверждение, которое следует из гипотезы Линделёфа, но не наоборот.

Пытаться доказать его. (это может быть к примеру, "плотностная гипотеза" или что нибудь еще).
Если и это не получается доказать, то пробуем найти еще более слабое утверждение, которое на данный момент
не доказано. В конечном итоге, мы должно быть, упрёмся в какой то "камень преткновения" - самую слабую гипотезу,
которая и не даёт нам продвинуться дальше. (все более слабые утверждения уже доказаны).
Назовём это "гипотеза X".

Верно?

Есть еще один путь - обобщения этих гипотез. Есть более сильное утверждение - обобщенная гипотеза Римана,
для всех функций Дирихле , включающая в себя и классическую ГР.

По аналогии, должна существовать и т.н. "Обобщённая гипотеза Линделёфа", с аналогичным утверждением
для всех функций Дирихле , включающая в себя и классическую ГЛ.

Не знаю, какое утверждение более слабое - классическая ГР, или обобщенная ГЛ.
А если пытаться доказывать гипотезу Линделёфа не для классической дзета-функции, а для какой то выбранной
(с самыми лучшими свойствами) L-функции Дирихле , то мы возможно докажем, некий "аналог гипотезы Линделёфа",
для неклассической (выбранной) функции, аналогичной дзета-функции Римана.

Может ли такой подход, упростить путь к искомому доказательству?

Таким образом, самым слабым утверждением, которое имеет наибольшие шансы на получение доказательства, будет
именно вышеописанная "гипотеза X" , но для выбранной (с самыми лучшими свойствами) L-функции Дирихле .

[kotenok gav]

Skipper в сообщении #1338297 писал(а):

Не знаю, какое утверждение более слабое - классическая ГР, или обобщенная ГЛ.

А если они не следуют друг из друга?

[Skipper]

kotenok gav в сообщении #1338305 писал(а):

Skipper в сообщении #1338297 писал(а):

Не знаю, какое утверждение более слабое - классическая ГР, или обобщенная ГЛ.

А если они не следуют друг из друга?

Может и так, но часто оказывается, что гипотезы, или теоремы "в рамках одной теории", оказываются в зависимом состоянии, т.е. что то одно следует из другого.
Не следуют одно из другого, если к примеру, одна из раздела теории полей и групп, вторая - из функционального анализа.
Но мы об этом можем и не знать, пока не доказано это следствие.

Только интуитивно догадываться. Вот мне интуиция подказывает, что т.н.
"Эпсилон-Дзета гипотеза" , о том, что существует $\varepsilon > 0 $ такое что нет нулей дзета-функции Римана, с действительной частью $\geqslant (1 - \varepsilon )$ , ( не $>$ - это еще чуть более сильная гипотеза ) --
сильнее чем гипотеза Линделёфа, т.е. последняя следует из Эпсилон-Дзета гипотезы, но не наоборот.

Интересно, есть ли какая нибудь изученная связь между ними..
(а если они обе верны, тогда верно и следующее "почти все нули дзета-функции Римана лежат на критической прямой", я раньше приводил своё доказательство,
на dxdy , всего на полстраницы, но его никто не проверил и не подтвердил. Почти все - означает: что предел соотношения количества нулей не на критической
прямой, к количеству нулей на критической прямой, стремится к нулю, в области ниже "высоты", т.е. мнимой части, стремящейся к бесконечности).

[kotenok gav]

Skipper в сообщении #1338313 писал(а):

я раньше приводил своё доказательство,
на dxdy , всего на полстраницы

Где?

[Skipper]

Скоро, соберу все данные, и напишу единое полное доказательство .

[TR63]

Skipper

(Оффтоп)

Skipper в сообщении #1338297 писал(а):

Есть такой метод упрощения доказательств "разделяй и властвуй".

Skipper в сообщении #1338297 писал(а):

В конечном итоге, мы должно быть, упрёмся в какой то "камень преткновения" - самую слабую гипотезу,
которая и не даёт нам продвинуться дальше. (все более слабые утверждения уже доказаны).
Назовём это "гипотеза X".

Верно?

Skipper, я обычно пользуюсь этим методом (он, правда, частично находится в Пургатории). Здесь вся фишка в том, что этот "камень преткновения" для возможности экстраполяции результата, найденного дедуктивным методом (аналогия: "один за всех и все за одного"), должен быть единственным. В противном случае экстраполяции не будет (это гипотеза; ещё надо добавить условие на задействованные операции).
Таким методом вероятно возможно доказать ГР гипотетически. Чтобы получить стандартное доказательство, надо обосновать гипотетический метод. Хочу заметить, что осечек, по крайней мере, в задачах, которые решала я гипотетическим методом, не было. Всегда потом находилось стандартное решение.

[Skipper]

Цитата:

Где?

К сожалению, сам обнаружил в своём доказательстве ошибку. Я думал, следствие из ГЛ описывает количественное распределение нулей
дзета-функции, вне критической прямой, и также, до какого то значения $< 1 $ включительно.
А на самом деле, следствие из ГЛ описывает количественное распределение нулей , дзета-функции, для какого то $\sigma$
в области (полосе с действительной частью) > $\sigma$ и $< 1$ .

$< 1$ - понятно, т.к. было доказано Адамаром и Пуссеном в 1896 году, что на прямой с действительной частью $ = 1 $ -
нулей нет. Но какое бы $\sigma > 0.5$ мы ни взяли, в полосе, с действительной частью $ > \sigma$ , количество
нулей будет равно $ o $ малое от количества нулей в области $ < \sigma$ включая критическую прямую
с действительной частью $0.5$ . Это и есть следствие из ГЛ.

Получается из него совсем не следует уменьшение части нулей, лежащих вне критической прямой, по сравнению с количеством нулей на критической прямой.
Простыми словами говоря, при движении вверх по критической прямой, нули могут бесконечно долго "уплотняться", к критической прямой,

т.е. из следствия ГЛ, описанного в книге Титчмарша -
У нас ведь $T$ стремится к бесконечности, а $\varepsilon$ -- фиксированное число.
Вот если бы все нули лежали в окрестности критической прямой ширины, скажем, $1/T$ (то есть окрестность сужается вверх).
Тогда следствие из гипотезы Линделефа выполнено, но нули на критической прямой лежать не обязаны.