2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Цепь на двух гвоздях
Сообщение03.09.2018, 08:21 


02/09/18
12
Замкнутая цепочка вешается на два гвоздя. Силами сцепления пренебрегаем. Диаметр гвоздей нулевой (точки).
В зависимости от положения гвоздей и длины цепочки она может провиснуть двумя способами:
- двумя одинаковыми половинками;
- двумя отрезками разной длины.
Оценить критерии, определяющие эти два способа провисания.
Задачу можно решать аналитически, числено, а также гибридно, перемешивая эти два метода.
Решение можно начать со случая, когда гвозди находятся на одном уровне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепь на двух гвоздях
Сообщение03.09.2018, 09:31 


11/12/16
3864
OchkovVF

1. Введем параметр $\kappa$ - доля в которой цепочка делится гвоздями на две части.
2. Считаем положение ц.м. для каждой части (по вертикали: $y_1$ и $y_2$)
3. Считаем массу каждой части ($m_1$, $m_2$)
4. Считаем потенциальную энергию $U(\kappa) = m_1(\kappa)y_1(\kappa) + m_2(\kappa)y_2(\kappa)$
5. Ищем минимумы.

Насколько понимаю, все там проинтегрируется, а потом продифференцируется.
В пункте 5 может возникнуть трансцендентное уравнение.

В чем прелесть задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепь на двух гвоздях
Сообщение03.09.2018, 10:41 


02/09/18
12
Спасибо за отклик!
Все что вы написали - это тривиально и понятно.
Вопрос в том, какие критерии (четкие или размытые) определяют вид провисающей замкнутой цепочки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепь на двух гвоздях
Сообщение13.09.2018, 20:39 
Заслуженный участник


10/01/16
1843
Реализовав программу, предложенную EUgeneUS, после чудесных сокращений, получаем: происходит классическая бифуркация "вилка". Если расстояние между гвоздями фиксировано, и равно $2a$, гвозди - на одной высоте (это нам ТС разрешил), длина цепи равна $2L$, то бифуркация случится при критическом значении $L_{\ast} = 2a\cdot b$, $b =2\frac{\sh x}{x}$, где $x$ - корень уравнения $x \sh x= \ch x$ (он - единственный): при малой длине цепи отрезки будут равными, при большЕй - неравными.
Вот только непонятно - критерий этот - он четкий или размытый?....

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепь на двух гвоздях
Сообщение13.09.2018, 22:04 


02/09/18
12
Браво! Бифуркация замкнутой цепочки длиной 2L, висящей на двух гвоздях, расположенных на одном уровне на расстоянии друг от друга $2a$, происходит при $L/4a=1.258…$
Сделайте поиск в Интернете по ключу "Catenary 1.258"!
Я имел нахальство назвать эту константу "цепное число PI". При этом соотношении силы, приложенные к цепи на ее концах, будут минимальными!

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение13.09.2018, 22:24 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
15725
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.09.2018, 23:54 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
15725
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group