Физическое понимание дифференциала

[SNet]

В какой мере справедливо понимание дифференциала физической величины как бесконечно малого приращения оной (настолько малой, что по сравнению с линейной частью членами второго и большего порядков можно пренебречь)?
Например, в учебнике А. Н. Матвеев -- Механика и теория относительности (2009 г., стр. 88) написано:
«Если рассматриваемые точки расположены бесконечно близко, то равенство (14.9) доказывает инвариантность квадрата дифференциала интервала»

Существуют ли границы применимости подобной интерпретации, то есть такие ситуации, где такое восприятие дифференциала ведёт к неверным выводам?

В соседней тебе обсуждалась скорость тела на криволинейной траектории. Запишем её так
$\vec v = v\vec\tau$ и продифференцируем, получая ускорение:
$\vec a = v\frac{d\vec\tau}{dt} + \vec\tau\frac{dv}{dt}$.
Как оказалось, нельзя рассматривать вектор $\frac{d\vec\tau}{dt}$ как произведение дифференциалов $d\vec\tau\frac{1}{dt}$. И в итоге выясняется, что вектору скорости ортогонален $\frac{d\vec\tau}{dt}$, но не $d\vec\tau$. Почему?

[Someone]

SNet в сообщении #1338519 писал(а):

вектору скорости ортогонален $\frac{d\vec\tau}{dt}$, но не $d\vec\tau$. Почему?

Вы знаете, что такое скалярное произведение векторов? Как вычислить производную скалярного произведения?

[pogulyat_vyshel]

Очередная попытка освоить матан по учнбнику физики

[EUgeneUS]

Someone
ИМХО, у ТС другой вопрос.

SNet
Это всё придумал Лейбниц в восемнадцатом году.

Цитата:

In its modern interpretation, the expression $\frac{dy}{dx}$ should not be read as the division of two quantities $dx$ and $dy$ (as Leibniz had envisioned it); rather, the whole expression should be seen as a single symbol that is shorthand for $\lim\limits_{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$
(Note $\Delta$ vs. $d$, where $\Delta$ indicates a finite difference)
The expression may also be thought of as the application of the differential operator $\frac{d}{dx}$ (again, a single symbol) to y, regarded as a function of x.

и далее

Цитата:

While it is possible, with carefully chosen definitions, to interpret $\frac{dy}{dx}$ as a quotient of differentials, this should not be done with the higher order forms

Отсюда

-- 13.09.2018, 11:53 --

SNet
Проблема в том, что под $dy$ могут пониматься совершенно разные штуки:

1. Дифференциал (который является функцией двух переменных, если $y$ - функция одной переменной)
2. Бесконечно малую (которая является функцией или последовательностью)
3. Совместно с символом $dx$ - предельный переход в определение производной ($\Delta x \to 0$)
4. Бесконечно малую величину, которую подразумевал Лейбниц, и которых не существует в стандартном матане.

Проблема усугубляется тем, что всё это может существовать одновременно в одной и той же голове.

А решается эта проблема (в рамках задачи из упомянутой Вами темы) тоже просто: не нужно рассматривать $dy$ и $dx$ как что-то отдельное, в той задаче достаточно определения производной.

[Someone]

Да, похоже, что не так понял.

SNet в сообщении #1338519 писал(а):

Как оказалось, нельзя рассматривать вектор $\frac{d\vec\tau}{dt}$ как произведение дифференциалов $d\vec\tau\frac{1}{dt}$.

(Мне непонятно, почему Вы частное называете произведением. Будем считать, что это опечатка.) Собственно, почему? Векторы $\vec\tau(t)$, $\vec\tau(t+\Delta t)$ и $\Delta\vec\tau(t)=\vec\tau(t+\Delta t)-\vec\tau(t)$ образуют равнобедренный треугольник. Если $\lvert\Delta t\rvert$ достаточно мал, то боковые стороны много больше основания, и угол при основании очень близок к $90^{\circ}$. Когда $\lvert\Delta t\rvert\to 0$, этот угол стремится к $90^{\circ}$. Поэтому вектор $\frac{d\vec\tau(t)}{dt}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\vec\tau(t)}{\Delta t}$ перпендикулярен вектору $\vec\tau(t)$, который по определению коллинеарен скорости $\vec v(t)$. И, опять же по определению, $d\vec\tau(t)=\frac{d\vec\tau(t)}{dt}dt$.

[Someone]

Someone в сообщении #1338572 писал(а):

И, опять же по определению, $d\vec\tau(t)=\frac{d\vec\tau(t)}{dt}dt$.

Сильно спешил, поэтому не так написал.
По определению дифференцируемой функции, $\Delta\vec\tau(t)=\vec A(t)\Delta t+\vec o(\Delta t)$, и дифференциалом называется первое слагаемое в правой части. Потом доказывается, что $\vec A(t)=\frac{d\vec\tau(t)}{dt}$ (дробь в правой части рассматривается исключительно как обозначение производной; на самом деле, конечно, в этот момент производная обозначается как $\vec\tau'(t)$), и что $dt=\Delta t$ для независимой переменной $t$, что и обосновывает введение обозначения производной дробью $\frac{d\vec\tau(t)}{dt}$. Но для функций нескольких переменных такие рассуждения не проходят.

[arseniiv]

EUgeneUS в сообщении #1338548 писал(а):

Проблема в том, что под $dy$ могут пониматься совершенно разные штуки:

2. Бесконечно малую (которая является функцией или последовательностью)

Не попадалось что-то.

[EUgeneUS]

arseniiv
Это такой сценарий:
- что такое $dy$?
- бесконечно малое!


Ежели отвечают:
- бесконечно малое приращение функции $y(x)$
то это пункт (4).

[SNet]

pogulyat_vyshel
Ну, нет. Дело в интерпретации формул физики, а не в обучении матанализу по учебникам физики.

EUgeneUS в сообщении #1338548 писал(а):

А решается эта проблема (в рамках задачи из упомянутой Вами темы) тоже просто: не нужно рассматривать $dy$ и $dx$ как что-то отдельное, в той задаче достаточно определения производной

Но почему тогда авторы учебников по общей физике постоянно апеллирую к интерпретации Лейбница? Вот как раз в связи с этим возникает вопрос: какие у неё границы применимости?

Someone в сообщении #1338572 писал(а):

(Мне непонятно, почему Вы частное называете произведением. Будем считать, что это опечатка.)

Да, извиняюсь.

Someone в сообщении #1338572 писал(а):

$d\vec\tau(t)=\frac{d\vec\tau(t)}{dt}dt$.

Вот я не понимаю, как воспринимать это выражение. Мне упорно в голову лезет разделение его на бесконечно малые величины.
Тем более так же делают авторы учебников. А вот выше написано, что всё должно быть воспринято как единое целое, так что, кажется, никакой "алгебры дифференциалов" не возникает. Но тут же становится не очень наглядными определения основных физических понятий (типа скорости. То было отношение двух приращений, а теперь это действие оператора, как я понял).

[pogulyat_vyshel]

SNet в сообщении #1338739 писал(а):

Ну, нет. Дело в интерпретации формул физики,

это формулы не физики, а математики, и пока вы не освоите соответствующую математику, вы будете в трех соснах ходить

[EUgeneUS]

SNet в сообщении #1338739 писал(а):

Но почему тогда авторы учебников по общей физике постоянно апеллирую к интерпретации Лейбница?

Ответ на этот вопрос есть в той же статье на википедии:

Цитата:

While there is no division implied by the notation, the division-like notation is useful since in many situations, the derivative operator does behave like a division, making some results about derivatives easy to obtain and remember.[14] This notation owes its longevity to the fact that it seems to reach to the very heart of the geometrical and mechanical applications of the calculus

SNet в сообщении #1338739 писал(а):

Вот как раз в связи с этим возникает вопрос: какие у неё границы применимости?

Насколько понимаю, сейчас в рамках матанализа - никаких.

SNet в сообщении #1338739 писал(а):

Вот я не понимаю, как воспринимать это выражение. Мне упорно в голову лезет разделение его на бесконечно малые величины.

Если в голову лезут разные не нужные мысли на тему отношения бесконечно малых величин, используйте штрихи или точки.

SNet в сообщении #1338739 писал(а):

Но тут же становится не очень наглядными определения основных физических понятий (типа скорости. То было отношение двух приращений, а теперь это действие оператора, как я понял).

Всё наглядно, если не забывать, что за каждым $dx$ маячит предельный переход $\Delta x \to 0$.
(Upd, по опыту: но до тех пор, когда за $dx$ не начинают понимать именно дифференциал. Например, дифференциал функции нескольких переменных).

-- 13.09.2018, 19:48 --

SNet в сообщении #1338739 писал(а):

кажется, никакой "алгебры дифференциалов" не возникает.

Вся эта "алгебра дифференциалов", если правильно понимаю, что Вы подразумеваете под этими словами - набор мнемонических правил. Типа "каждый охотник желает знать, где сидит фазан".
Вы же не будете утверждать, что охотник, его желания, фазан и процесс сидения имеют какое-то отношение к разложению белого света в спектр, а слово "каждый" можно тут записать как $\forall$

[Mikhail_K]

SNet в сообщении #1338739 писал(а):

Но почему тогда авторы учебников по общей физике постоянно апеллирую к интерпретации Лейбница? Вот как раз в связи с этим возникает вопрос: какие у неё границы применимости?

Если Вы хорошо освоили мат.анализ по обычным математическим учебникам, то:
1) никакая интерпретация Лейбница Вам не нужна, Вы можете понимать все физические формулы как в обычном мат.анализе;
2) но вместе с тем Вы понимаете, что в стандартных случаях интерпретация Лейбница Вас тоже не обманет, поэтому можете пользоваться и ею у себя в голове, если она для Вас интуитивно проще.
"Границы применимости" нестрогой интуитивной "интерпретации Лейбница" будете чувствовать сами, имея опыт решения задач по мат.анализу. Попытки строго обозначить эти границы, а заодно и уточнить саму интерпретацию, ведут к нестандартному анализу, но никакой особой нужды в этом нет, ни для изучения физики, ни для изучения математики.

[Munin]

SNet в сообщении #1338739 писал(а):

Но почему тогда авторы учебников по общей физике постоянно апеллирую к интерпретации Лейбница? Вот как раз в связи с этим возникает вопрос: какие у неё границы применимости?

В учебниках общей физики её "применяют" только до тех пор, пока из каких-то таких, "физических", соображений не запишут полностью формулу. Как только формула получена - "интерпретация Лейбница" может быть отброшена, и не может быть достаточно убедительным аргументом. С готовой формулой работают по стандартным правилам математического анализа. Вот тут граница применимости и проходит.

В общей физике "по Лейбницу" встречаются, грубо говоря, два типа формул:
1. "Производная равна чему-то"

$$\dfrac{da}{db}=\ldots\qquad\textit{пример:}\quad\dfrac{ds}{dt}=v,\quad\dfrac{dp}{dt}=F.$$

Эти формулы следует воспринимать напрямую как неделимые обозначения производных в матанализе.

1. "Дифференциал равен чему-то"

$$da=\ldots\qquad\textit{пример:}\quad dm=\rho\,dV,\quad dA=F\,ds.$$

Эти формулы следует воспринимать как "замены переменных при интегрировании". Например, к ним можно приписать знак интеграла по любой допустимой области:

$$\forall V\colon\int\limits_{\makebox[0pt]{\(\scriptstyle\vec{r}\in V\)}}dm=\int\limits_{\makebox[0pt]{\(\scriptstyle\vec{r}\in V\)}}\rho\,dV,\quad\forall s_1,s_2\colon\int\limits_{\makebox[0pt]{\(\scriptstyle s\in[s_1,s_2]\)}}dA=\int\limits_{\makebox[0pt]{\(\scriptstyle s\in[s_1,s_2]\)}}F\,ds,$$

и получится верная формула.

[Pavia]

Для начало прочтите:
https://yadi.sk/i/GVUVDbCYuHU8tg

[EUgeneUS]

SNet
Пользуясь примерами уважаемого Munin.
В учебнике физики Вы можете встретить что-то типа такого:

$\frac{dp}{dt} = F$ (1)
а значит $dp = F dt$ (2)
а значит $\int\limits_{t_1}^{t_2} dp = \int\limits_{t_1}^{t_2}F dt$ (3)

При этом в каждой строчке под $dt$ и $dp$ понимается разное, каждый переход "а значит" - это довольно таки нетривиальный факт.
Попытки же понимать под $dt$ и $dp$ в каждой формуле одно и тоже приводят к тому, что их нужно считать "бесконечно малыми величинами", которых в стандартном матане не существует.
Но в нотации Лейбница всё красиво, даже размерность соблюдается