2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение09.03.2006, 15:17 
Если Q рациональные числа (что подтвердили), а U содержит Q значит вся прямая, то из того, что не более чем счётное подмножество P принадлежит U следует, что P само содержит не более счётного количества точек.
Или вы опять что то хотите запутать. Лучше сформулируйте заново ваши условия, чтобы нельзя было интерпретировать разнообразно.

 
 
 
 
Сообщение09.03.2006, 15:27 
Простите забыл, что не более счётно подмножество содержит дополнение к U, т.е. понятие вполне логичное.

 
 
 
 
Сообщение09.03.2006, 15:38 
Руст писал(а):
Если Q рациональные числа (что подтвердили),


я этого не подверждал

Наверно Вы перепутали: $Q$ и $\mathbb{Q}$ - это разные объекты.

Руст писал(а):
а U содержит Q значит вся прямая,


Это неверно, даже если $Q=\mathbb{Q}$.

Руст писал(а):
то из того, что не более чем счётное подмножество P принадлежит U следует, что P само содержит не более счётного количества точек.


Я писал
Для $Q,P\subset \mathbb{R}$, будем говорить, 
что {\it $P$ конденсируется вокруг $Q$} если для любой окрестности $U$ 
множества $Q$ множество $P\setminus U$ не более чем счетно.

Где тут говорится, что P не более чем счетно? И почему P принадлежит U?
P никак не может принадлежать U. P не элемент U. И P не обязательно лежит в U.

Руст писал(а):
Или вы опять что то хотите запутать.


Такого намеренья у меня не было.

Руст писал(а):
Лучше сформулируйте заново ваши условия, чтобы нельзя было интерпретировать разнообразно.


подумаю, как сформулировать, что бы Вы поняли..

 
 
 
 
Сообщение09.03.2006, 16:14 
В качестве P можно взять только хорошо приближаемые рациональными числами иррациональные числа. Т.е. иррациональное число х принадлежит P, если n -подходящая дробь $\frac {P_n}{Q_n}$ для x удовлетворяет условию $ |x-\frac {P_n}{Q_n}|<\frac {1}{Q_n^n}. Это наподобии Лиуливых чисел (какие он приводил при доказательстве существования трансцендентных чисел).

 
 
 
 
Сообщение09.03.2006, 23:41 
Руст писал(а):
В качестве P можно взять только хорошо приближаемые рациональными числами иррациональные числа. Т.е. иррациональное число х принадлежит P, если n -подходящая дробь $\frac {P_n}{Q_n}$ для x удовлетворяет условию $ |x-\frac {P_n}{Q_n}|<\frac {1}{Q_n^n}. Это наподобии Лиуливых чисел (какие он приводил при доказательстве существования трансцендентных чисел).


Такое множество $P$ не подходит.

Насколько понял, $P=\{x\in\mathbb{P}: \forall n \in\mathbb{N}\,\,\, \exists \frac{p}{q}\in\mathbb{Q} \text{ так что } |x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^n}\}$. Тогда для натурального n множество $P_n=\{x\in\mathbb{R}: \exists \frac{p}{q}\in\mathbb{Q} \text{ так что } |x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^n}\}$ открыто и $P=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}P_n\setminus \mathbb{Q}$, следовательно, множество $P$ типа $G_\delta$ (пересечение счетного числа открытых множеств) и плотно в $\mathbb{R}$. Такое множество содержит несчетное $F\subset P$, замкнутое в $\mathbb{R}$ подмножество. Для $U=\mathbb{R}\setminus F$ имеем $P\setminus U=F$ и $P\setminus U$ несчетно.

 
 
 
 Независимость от ZFC
Сообщение13.03.2006, 21:55 
Аватара пользователя
er писал(а):
Пример независимого от ZFC утверждения я привел в
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=1716


Какое утверждение Вы имели в виду? О существовании несчётного множества, конденсирующегося вокруг множества рациональных чисел? А какое дополнительное предположение требуется для построения? И где это опубликовано?

 
 
 
 Re: Независимость от ZFC
Сообщение14.03.2006, 17:23 
Someone писал(а):
er писал(а):
Пример независимого от ZFC утверждения я привел в
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=1716


Какое утверждение Вы имели в виду? О существовании несчётного множества, конденсирующегося вокруг множества рациональных чисел?


да

Someone писал(а):
А какое дополнительное предположение требуется для построения?


1. Существует в предположении континуум гипотезы.
2. Не существует в предположении аксиомы Мартина и отрицания континум гипотезы.

Someone писал(а):
И где это опубликовано?


То что в CH есть, написано в тниге Куратовского "Топология". Насчет аксиомы Мартина.. Там есть, кажется, ссылка. Этот факт, кажется, упоминается в "Справочной книге по мат. логике" в 4-х томах.

Вообще то, факт вполне очевидный и сейчас его и эквивалентные часто без ссылок приводят. Существование несчетного множества, концентрирующего вокруг рациональных чисел эквивалентно кардинальному равенству $\goth{b}=\omega_1$.

Здесь, $\omega_1$ - первый несчетный кардинал, $\goth{b}$ - наименьшая мощность неограниченного семейства функций из натуральных чисел в натуральные числа. Порядок рассматиривается "почти всюду": $f\le g$ если и только если существует $N$, так что $f(n) \le g(n)$ для всех $n>N$.

 
 
 
 Re: Независимость от ZFC
Сообщение14.03.2006, 20:35 
Аватара пользователя
er писал(а):
1. Существует в предположении континуум гипотезы.
2. Не существует в предположении аксиомы Мартина и отрицания континум гипотезы.
...


Спасибо.

 
 
 
 
Сообщение15.03.2006, 09:13 
Во первых, то что я привёл не соответствует тому, что вы поняли.
Во вторых, я ещё тогда, когда привёл этот пример, понял что он не годится. И вообще всё это связано нечто типа противоречивыми множествами по классификации Котофеича. Так как я всегда к не рекурсивным множествам относился с некоторым подозрением, бросил искать пример.

 
 
 
 
Сообщение15.03.2006, 17:07 
Руст писал(а):
И вообще всё это связано нечто типа противоречивыми множествами по классификации Котофеича.


сомневаюсь

Руст писал(а):
Так как я всегда к не рекурсивным множествам относился с некоторым подозрением, бросил искать пример.


Здесь множество строится индукций, но не счетной, а до первого несчетного ординала.

Логики постарались и предъявили "нормальное" арифметическое утверждение (типа ВТФ), которое независит от аксиоматики Пиано, но верно в ZFC, доказывается трансфинитной индукцией до первого несчетного ординала.
(в 4-ом томе "Справочной книге по мат.логике")

Вообще то, этот пример меня обескуражил. Он имеет стркутуру Q="для все натуральных n верно P(n)", где P(n) нормальное арифметическое утверждение, которое для конкретного n проверяется за конечное число шагов. Так возникает вопрос, "на самом деле", Q верно? :) Ну, если кому поручить проверку P(n), он найдет когда либо n, для которого P(n) не верно?

 
 
 
 
Сообщение15.03.2006, 17:20 
вот еще..

Руст писал(а):
Так как я всегда к не рекурсивным множествам относился с некоторым подозрением, бросил искать пример.


Насколько понимаю, под рекурсивными множествами Вы понимаете то, что стандартно называют конструктивными множествами.

Я думаю, это можно доказать, что конструктивное множество P не может конденсироватся вокруг рациональных чисел. Хотя тоже не на 100%, смотреть надо..

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group