Разрешимость дифференциальных уравнений

[Skipper]

Введём понятие "неразрешимое дифференциальное уравнение", по аналогии с "неберущимися интегралами".

"неразрешимое дифференциальное уравнение" - эта такое уравнение, которое, при попытке решить обычными методами интегрирования+дифференцирования -
никак не приводит к решению, т.е. к нахождению искомой функции, в виде какого-то конечного набора её более простых составляющих,
с конечным набором операций (под операциями может пониматься не только $+ - \cdot /$ , степени, элементарные функции, а и сами интегралы от элементарных функций).

В таком понимании, если решением дифференциального уравнения получилась искомая функции, к примеру ,

$f(x) = ( \sin x + \pi ^ {e-x} ) \cdot x^x \cdot \ln x $
или
$f(x) = ( \sin x + \pi ^ {e-x} ) \cdot x^x \cdot \ln x \cdot \int\limits_{0}^{2} x ^ {x \cdot \ln x } dx $

то считаем, что исходное дифференциальное уравнение разрешимое - т.к. стандартными методами интегрирования+дифференцирования - мы нашли
некую функцию, с её записью конечной длины.

"неразрешимое дифференциальное уравнение" - это когда эти же методы интегрирования+дифференцирования (и теорий дифф. уравнений) -
не приводят к получению искомой функции конечной длины....
Вот последнее содержит один интеграл и записывается в одну строчку. А допустим искомая функция, такими методами - получалась бы некой бесконечно длинной записью.
Тогда вроде, и "дифференциальная теория Галуа", подсказывала бы нам что данное дифференциальное уравнение неразрешимо .

Предположим, это так.

Но ведь неразрешимость (неразложимость) этими методами - вовсе не означает, что теоретически не может существовать в принципе -
такая искомая функция (с записью конечной длины), которая тем не менее, будет совпадать со своим прототипом - функцией бесконечной длины,
получающейся методами интегрирования+дифференцирования и теорий дифф. уравнений . (совпадать во всех областях значений ).

Другими словами говоря, "невыводимость" искомой функции конечной длины , не то же самое что, "принципиальная невозможность существования" ?

В итоге, получается, что дифференциальная теория Галуа, может дать ответ, что "дифференциальное уравнение неразрешимое", но тем не менее,
искомую функцию всё таки теоретически можно записать в виде какого-то конечного набора её более простых составляющих.

Верно?

[Otta]

Непонятно. Уравнение $y'=e^{-x^2}$ разрешимо по-Вашему или нет?

[Red_Herring]

Все уже схвачено
https://www.mccme.ru/publications/demo/khovansky-top-galois-demo.pdf

[пианист]

Просто оставлю это здесь.
https://www.twirpx.com/file/2001284/ стр.163.
Софус Ли, результат начала 80-х XIX века.
upd более годная ссылка
http://padabum.com/d.php?id=20193

[Skipper]

Otta в сообщении #1338292 писал(а):

Непонятно. Уравнение $y'=e^{-x^2}$ разрешимо по-Вашему или нет?

Интегралы тоже могут присутствовать, главное чтобы справа от знака не было самой функции, иначе функциональное уравнение получается конечной длины,
но никак не само определение искомой функции - конечной длины . Формально - только один раз слева от знака равно может встречаться : $y(x) =$ ...
А функциональные уравнения, равно как и дифференциальные уравнения, не всегда могут приводить к нахождению искомой функций с записью конечной длины,
вот их я и назвал "неразрешимыми".

Поэтому, ваше уравнение - разрешимо. решение - запись конечной длины

$y(x) = C + \int\limits_{x}^{\infty} e^{-t^2} dt $

Вот если при попытке оставить $y(x) =$ ... только один раз слева от знака равно, а справа будет запись бесконечной длины,
(а не этот один интеграл и два слагаемых ) - тогда такое дифф. уравнение назовём неразрешимым.
(что в первом сообщении темы).

И дифференциальная теория Галуа подкажет нам, что методы не приведут к записи конечной длины.
И главный вопрос, в таком случае - "невыводимость" искомой функции конечной длины , не то же самое что, "принципиальная невозможность существования" ?

-- Ср сен 12, 2018 11:17:17 --

Цитата:

Все уже схвачено
https://www.mccme.ru/publications/demo/ ... s-demo.pdf

Ого, видимо, интересная книжка. А может еще что то посоветуете перед этим почитать более простое (по похожим темам), чтобы лучше эту книгу понимать?

[g______d]

Skipper в сообщении #1338290 писал(а):

то считаем, что исходное дифференциальное уравнение разрешимое - т.к. стандартными методами интегрирования+дифференцирования - мы нашли
некую функцию, с её записью конечной длины.

Это всю жизнь называлось «разрешимость в квадратурах».

[Skipper]

g______d в сообщении #1338377 писал(а):

Skipper в сообщении #1338290 писал(а):

то считаем, что исходное дифференциальное уравнение разрешимое - т.к. стандартными методами интегрирования+дифференцирования - мы нашли
некую функцию, с её записью конечной длины.

Это всю жизнь называлось «разрешимость в квадратурах».

Вот, я про это именно и говорю. Просто терминология иногда немного забывается.

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1338293 писал(а):

Все уже схвачено
https://www.mccme.ru/publications/demo/khovansky-top-galois-demo.pdf

Ходил на лекции этого товарища когда учился на 3 курсе. Было захватывающе интересно. Он рассказывал про неразрешимость в квадратурах дифференциальных уравнений.
Потом я немного повзрослел и появился вопрос. Дифференциальное уравнение не интегрируемо в квадратурах ну и что? Какие выводы из сего факта вытекают в плане поведения траекторий? Никаких. Неинтегрируемость в квадратурах диф. уравнения не является инвариантом фазового потока. Печалька.

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1354675 писал(а):

Потом я немного повзрослел и появился вопрос. Дифференциальное уравнение не интегрируемо в квадратурах ну и что? Какие выводы из сего факта вытекают в плане поведения траекторий? Никаких. Неинтегрируемость в квадратурах диф. уравнения не является инвариантом фазового потока. Печалька.

Это тот же самый вопрос, который задается по поводу разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Дело математического вкуса. Алгебраистов волнует одно, аналитиков другое

[novichok2018]

...а вычислителей третье...

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1354706 писал(а):

Это тот же самый вопрос, который задается по поводу разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Дело математического вкуса. Алгебраистов волнует одно, аналитиков другое

Я думаю, что дело еще и в актуальности исследований, а не только во вкусе. У нас 21 век а не 19 , мы знаем, благодаря классикам, что уравнения не имеют привычки решаться явно, ни алгебраические ни дифференциальные. Надо бы двигаться дальше? На первый план уже давно вышли теоремы существования, качественный анализ, развиваются численные методы. Насколько я помню, наука Хованского вообще годятся только для уравнений в аналитических функциях. Во времена Лиувилля, это, наверное, все было бы очень круто. Сейчас я просто не понимаю , какое место эта деятельность занимает в общем контексте.

[Red_Herring]

Что я или Вы по этому поводу думаем--это оффтопик в данной теме. ТС интересовало, где такие вопросы исследованы, а не насколько эти вопросы интересны в общем контексте. Или в каком другом.