Выяснить, все ли корни многочлена находятся внутри R < 1

[Igor_Dmitriev]

Как это узнать, не решая уравнение?
Для второй степени всё понятно, но как быть, когда степень существенно превышает $2$ ?
Коэффициенты действительные.

[g______d]

Можно вычислить интеграл $\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{f'(x)}{f(x)}\,dz$ по единичному кругу. Он будет равен числу корней в единичном круге. Поскольку это целое число, при вычислении численным методами довольно быстро станет понятно, какое именно.

[Igor_Dmitriev]

Неожиданно. Только сильно сложно.
А через неравенства для коэффициентов ничего нет?
P.S. Кажется, по индукции можно доказать, что все коэффициенты не должны превышать целые числа, которые можно найти также по индукции, после сна надо проверить. По крайней мере, для действительных корней.

[iifat]

Это называется «устойчивые многочлены». Погуглите. Думаю, не обязательно читать все 376000 материалов, но там на первой странице книга Постникова М.М. именно с таким названием.

[DeBill]

Igor_Dmitriev
Иногда можно сделать по теореме Руше (напр., если старший к-т по модулю больше суммы модулей всех остальных).

iifat в сообщении #1336740 писал(а):

Это называется «устойчивые многочлены»

Нет, устойчивые многочлены - традиционно - это те, у которых все корни лежат в левой полуплоскости (термин происходит из дифуров: считают характеристический многочлен матрицы линеаризации ( в особой точке) системы : его устойчивость равносильна асимптотической устойчивости особой точки). В книге Постникова именно такие многочлены и рассматриваются.
Но есть параллельная дифурам теория дискретных динамических систем (исследуются итерации отображения $z \mapsto f(z) $). Устойчивость неподвижной точки такого отображения будет равносильна (почти) "устойчивости" (уже в смысле ТС) характеристического многочлена матрицы линеаризации ( в неподвижной точке) отображения. Поскольку вопрос важен для практических нужд, наверняка есть и параллельная теория такой "устойчивости" - но ссылок я не знаю.
Впрочем, можно, видимо, сделать все кустарно: по принципу аргумента, соорудить аналогичные критерии Рауса, Гурвица и Льенара-Шипара из книжки Постникова (я по ней пару раз курсовые давал...) для "устойчивости"

[grizzly]

DeBill в сообщении #1336764 писал(а):

В книге Постникова именно такие многочлены и рассматриваются.

Там же в самом начале говорится, что задача с кругом сводится к задаче с левой полуплоскостью.

[Коровьев]

Igor_Dmitriev в сообщении #1336737 писал(а):

А через неравенства для коэффициентов ничего нет?

Если попроще для коэффициентов, то есть книга Фаддеева "Сборник задач по высшей алгебре". Конкретно, параграф 9 о распределении корней полинома. В задаче 746 найдены необходимые и достаточные условия для коэффициентов полинома третьей степени, чтобы все его корни не превосходили по модулю единицы.
Там много ещё чего для корней полиномов элементарно.

[DeBill]

grizzly в сообщении #1336766 писал(а):

Там же в самом начале говорится, что задача с кругом сводится к задаче с левой полуплоскостью.

А, ну конечно: дробно-линейно одна задача сводится к другой (и тоже с многочленом): задача 4, стр. 11

-- 05.09.2018, 18:31 --

А я чё-то затормозил: к тригонометрии пытался сводить...

-- 05.09.2018, 18:33 --

Во, будет новая курсовая: перевести критерии устойчивости на "устойчивость".

[demolishka]

Есть критерий Гурвица (аналитический) и критерий Эрмита-Михайлова (графический). Формулируются они для многочленов устойчивых в смысле непрерывных систем (т. е. корни лежат в левой полуплоскости). Но, как уже было сказано, несложной заменой эта задача сводится к устойчивости дискретной (т. е. с корнями в единичном круге). Соответственно если нужны неравенства на коэффициенты, то обращайтесь к критерию Гурвица, если же нужен быстрый численный эксперимент - поможет критерий Эрмита-Михайлова.