Пределы и логика

[bubu gaga]

Дана коллекция вложенных событий
A_1 \subset A_2 \subset A_3 \dots

Нужно доказать, что
P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \dots) = \lim_{n \to \infty}P(A_n)

Доказательство приведено в решебнике. Первым делом мы доказываем, что для любого n верно P(\bigcup^n A_i) = P(A_n). А после этого следует фраза, ну следовательно и в пределе всё будет в порядке.

Собственно вопрос. Насколько я понимаю, предел - это самая близкая граница, которую нельзя пересечь. Откуда эта граница вдруг вылезла? Другими словами, в чём разница (или наоборот эквивалентность) между следующими высказываниями

\forall_{n} \; \; P(\bigcup^n A_i) = P(A_n)

и

P(\bigcup^{\infty} A_i) = \lim_{n \to \infty}{ P(A_n) }

Первое высказывание с лёгкостью читается по-русски: для конечного множества вложенных событий их общая вероятность равна вероятности самого большого из них. Как прочитать нижнее? Спасибо!

[ewert]

bubu gaga писал(а):

Дана коллекция вложенных событий
A_1 \subset A_2 \subset A_3 \dots

Нужно доказать, что
P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \dots) = \lim_{n \to \infty}P(A_n)

Доказательство приведено в решебнике. Первым делом мы доказываем, что для любого n верно P(\bigcup^n A_i) = P(A_n). А после этого следует фраза, ну следовательно и в пределе всё будет в порядке.

Если в учебнике так и сказано: "ну следовательно" -- то это плохой учебник. Ибо непоследовательный. Надо или честно доказывать это утверждение, или уж просто отмахнуться от него, сказав что-нибудь вроде "из общей теории меры следует, что...".

Потому, что это утверждение насчёт предела является следствием счётной аддитивности меры, и довольно-таки нетривиальным следствием (кажется, оно даже эквивалентно счётной аддитивности, но точно не помню). Просто так, размахиванием руками, его не возьмёшь.

[bubu gaga]

ewert писал(а):

Ибо непоследовательный.

Цитирую дословно "The last equality holds (это которое с пределом) because the partial sums in the series above are ..." и потом идёт равенство для конечного числа событий $n$.

Собственно это не первая книга, где встречается этот пример, и в решение всегда выглядит одинаково: разбить на непересекающиеся события, перейти к пределу (наверное они друг у друга списывают).

[Narn]

bubu gaga, а как в Вашем учебнике определяется вероятность? Какими аксиомами?

[ewert]

bubu gaga писал(а):

Цитирую дословно "The last equality holds (это которое с пределом) because the partial sums in the series above are ..."

Что ж, раз речь о "partial sums in the series", то это действительно намёк на некое доказательство. Просто они ссылаются на что-то более раннее. Попробуем восстановить.

Обозначим $B_1\equiv A_1$ и далее $B_k\equiv A_k\setminus A_{k-1}$; пусть $A_{\infty}\equiv\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k$.
Тогда $A_n=\bigcup_{k=1}^{n}B_k$ и $A_{\infty}=\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k$ (последнее, между прочим, есть какая-никакая, а теоретико-множественная теоремка).
Теперь по свойству счётной аддитивности $P(A_{\infty})=\sum_{k=1}^{\infty}P(B_k)$, в то время как по свойству обычной аддитивности $P(A_{n})=\sum_{k=1}^{n}P(B_k)$.
И поскольку второе есть частичная сумма для первого, а ряд знакоположителен (знаконеотрицателен) -- действительно, имеем $P(A_{\infty})=\lim\limits_{n\to\infty}P(A_n)$.

[bubu gaga]

Narn писал(а):

bubu gaga, а как в Вашем учебнике определяется вероятность? Какими аксиомами?

P: F \mapsto [0, 1]
P(\Omega) = 1

Для непересекающихся событий
P(A_1 \cup A_2 \cup \dots) = P(A_1) + P(A_2) + \dots

Добавлено спустя 25 минут 30 секунд:

Для начала попробую доказать теоремку.

(По аналогии?) Множество $A_{\infty}$ является пределом объединения множеств ${A_i}$ если для любого $i$ верно $A_i \subset A_{\infty}$, и для любого элемента $a \in A_{\infty}$ существует $i$, такое что $a \in A_i$.

Условие $A_{\infty} = \bigcup^{\infty} B_i$ доказывается следующим образом. Для любого $i$ верно, что $B_i \subset A_i \subset A_{\infty}$. Для любого $a \in A_{\infty} $ существует непустое множество индексов $\{k : a \in A_k\}$. Берём минимум, получаем индекс нашего $B$.

Добавлено спустя 24 минуты 42 секунды:

Теперь остаётся найти вероятность этого предельного события. Мы разбиваем его на непересекающиеся события, это даёт нам возможность заменить объединение на плюс, получаем бесконечный ряд. Чему равна сумма бесконечного ряда? Пределу частичных сумм. Эти частичные суммы равны вероятностям событий $A_i$. Подставляем, получаем наш предел.

То есть если у нас есть событие, которое неотличимо от пересечения вложенных событий, то и его вероятность неотличима от вероятности самого большого из них. А уж как это самое большое событие получается, это не суть важно. Может быть и пределом.

Не уверен, что мои рассуждения хоть сколько-нибудь строгие, но по крайней мере я начал понимать. ewert, большое спасибо

[Профессор Снэйп]

bubu gaga писал(а):

Насколько я понимаю, предел - это самая близкая граница, которую нельзя пересечь.

Весьма сомнительное "понимание"!

Люди, изучавшие матанализ, не "понимают", а знают, что предел --- это такое число, что для любого $\varepsilon > 0$ существует $N$, такое что для любого $n > N$...

А автор темы, похоже, даже не в курсе, что задача из теории вероятностей и к логике никакого отношения не имеет

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

bubu gaga писал(а):

Насколько я понимаю, предел - это самая близкая граница, которую нельзя пересечь.

Весьма сомнительное "понимание"!

Люди, изучавшие матанализ, не "понимают", а знают, что предел --- это такое число, что для любого $\varepsilon > 0$ существует $N$, такое что для любого $n > N$...

А автор темы, похоже, даже не в курсе, что задача из теории вероятностей и к логике никакого отношения не имеет

имеет -- постольку, поскольку имеет отношение к теории множеств.

Да, кстати, а что может означать утверждение "множество меньше эпсилона"?
(это я к тому, что здесь пафос скорее в пределе множественной последовательности, чем числовой)

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Да, кстати, а что может означать утверждение "множество меньше эпсилона"?
(это я к тому, что здесь пафос скорее в пределе множественной последовательности, чем числовой)

Так у него вроде числовая последовательность в условии.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Так у него вроде числовая последовательность в условии.

и это тоже, но в первую очередь всё-таки множественная. Объединение или пересечение последовательности вложенных множеств традиционно принято называть пределом этой последовательности.

[bubu gaga]

Профессор Снэйп писал(а):

Весьма сомнительное "понимание"!

Люди, изучавшие матанализ, не "понимают", а знают...

Хм. Немного озадачен отношением, ну да ладно. Лингвистические дискуссии по-поводу как можно "знать" не понимая я вести не собираюсь. Моё знание матанализа конечно же неполноценное, и естественно я не в курсе чего-либо, признаю сразу и бесспорно все свои математические дефициты. Это собственно основная причина того, что я нахожусь на этом форуме, и пытаюсь разобраться.

Профессор Снэйп писал(а):

Так у него вроде числовая последовательность в условии.

У него там две последовательности. Слева множества, справа вероятности.

[epros]

bubu gaga писал(а):

Множество $A_{\infty}$ является пределом объединения множеств ${A_i}$ если для любого $i$ верно $A_i \subset A_{\infty}$, и для любого элемента $a \in A_{\infty}$ существует $i$, такое что $a \in A_i$.

Сигма-алгебра

Как видите, события $A_{\infty}$ просто может не быть в Вашей алгебре событий, ежели оная вдруг не является сигма-алгеброй. Если является, то нет проблем.