Демидович 606

[Ivan_B]

Найти
$\lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\sin\dots\sin}_\text{n раз}x$

$-\frac{\pi}{3}<-1<1<\frac{\pi}{3}$ поэтому знак, начиная со второго элемента, меняться не будет. Из $|\sin x|<|x|$ получается, что каждый член последовательности больше предыдущего для отрицательных элементов и меньше предыдущего - для положительных. Значит последовательность ограничена и имеет предел.

[thething]

$x_n=\sin x_{n-1}$

[Ivan_B]

Да, но пока ничего в голову не приходит. Буду думать.

[Ivan_B]

Подумал. Нужно перейти к равенству пределов левой и правой частей. Воспользоваться непрерывностью синуса. Угадать решение $x=0$ уравнения $x=\sin x$, которое и есть искомый предел.
Спасибо!

[miflin]

Можно дать ещё графическую интерпретацию, аналогичную этой - см. комментарий к рис. 9.
(c) Литлвуд Дж. 'Математическая смесь'.

[Ivan_B]

Очень наглядно, сразу получается доказательство(которое совсем не наглядное) Спасибо, что обратили внимание на этот интересный факт.
- наличие точек в которых $f(x)=x$: это или концы отрезка $[0;1]$ или $f(x)-x$ меняет знак на $[0;1]$ и непрерывна.
- процесс итерирования дает возрастающую/убывающую последовательность, если $f(x)>x$/$f(x)<x$ верно для всех элементов последовательности
- условие $f(x)>x$/$f(x)<x$ выполняется, потому что функция возрастает $x<f(x) \Rightarrow x<f(x)<f(x_0)=x_0$/$f(x)<x \Rightarrow x_0=f(x_0)<f(x)<x$
- $x < f(x) \Rightarrow \exists x_0=f(x_0)>f(x)$ (аналогично первому утверждению)
- $x > f(x) \Rightarrow \exists x_0=f(x_0)<f(x)$

[miflin]

Ivan_B в сообщении #1336603 писал(а):

Очень наглядно

Я имел в виду вот это (раскрою карты ):
https://drive.google.com/open?id=1oHIMq2IbjHDo2gOfHuF3Jsp8UHWOeFpK
Давайте спросим у ЗУ.
Насколько это может являться строгим графическим доказательством (с "некоторым аналитическим пониманием синуса" )?

[grizzly]

miflin в сообщении #1336621 писал(а):

Насколько это может являться строгим графическим доказательством (с "некоторым аналитическим пониманием синуса" )?

Не может. Сможет только после того, как уже усвоен весь багаж этого "аналитического понимания". Что и является целью подобных упражнений. Но "показательство" хорошее и может помочь в запоминании и/или настройке интуиции.

[thething]

Дело в том, что уравнение $x=\sin x$ мы получаем только после того, как докажем существование предела, т.е. из соображений монотонности, ограниченности и теоремы Вейерштрасса. До тех пор указанное уравнение ничего общего с исходной последовательностью не имеет. И графики никак не дают доказательства существования предела, ибо кто знает, что и в какой момент там может пойти не так. А вот как иллюстрация последовательных приближений к корню уже после того, как законность получения этого уравнения доказана -- вполне неплохой способ.