Какое число больше?

[Ktina]

Какое число больше?

а) $8^{94}$ или $3^{180}$?

б) $8^{95}$ или $3^{180}$?

С первым пунктом проблем нет:

$$8^{94}=2^{282}=128\cdot (2^{11})^{25}=128\cdot 2048^{25}<243\cdot 2187^{25}=243\cdot (3^7)^{25}=3^{180}$$

Второй пункт, такое ощущение, что без компа не решить. А может, всё-таки можно?

[Dmitriy40]

Это даже проще:

$$8^{95}=2^{285}=(2^{19})^{15}=524288^{15} < 531441^{15}=(3^{12})^{15}=3^{180}$$

[Someone]

$8^{95}=2^{3\cdot 95}=2^{19\cdot 15}$ и $3^{180}=3^{12\cdot 15}$.
Без компьютера вполне можно вычислить, что $2^{19}=524288<3^{12}=531441$.
Из этого следует, что $8^{95}<3^{180}$.

Вот, иDmitriy40 то же самое написал.

[Ktina]

Dmitriy40
Someone
Обоим большое спасибо!

-- 01.09.2018, 23:15 --

Любопытно, что если $8^{95}$ разделить на $3^{180}$, то получится всего-то около $0,8$, то есть числа практически равны!

[Dmitriy40]

Ktina в сообщении #1335988 писал(а):

Любопытно, что если $8^{95}$ разделить на $3^{180}$, то получится всего-то около $0,8$, то есть числа практически равны!

Именно это я и проверил первым делом. А уж потом стал смотреть какая степень тройки достаточно близка к любой степени двойки, повезло уже с 12-й. И уж потом оказалось что обе степени хорошо делятся на 15, я то был готов к коэффициентам как у Вас, даже начал их подбирать.

[Lia]

Оффтоп удален.