Лёгкий, простой дифур

[qweqwe2017]

Всем привет
Есть уравнение: $(1+y^2)ydx=x(1+2y^2)dy$. С его общим решением всё понятно, получилось: $y(1+y^2)=x^2+C^2$, а вот с частными не очень.
Понятно, что в процессе решения нужно было поделить на $(1+y^2)y$ и на $x$, откуда мы имеем соотвественно решения $y=0$ (проверяя, когда обнуляется множитель и то, что подставив данное значение $y$ в исходное уравнение получим верное тождество) и $x=0$. Однако последнее в ответе не указано.
Почему? Что неправильно: разве это не корень?

[thething]

Подстановкой в уравнение убеждаемся, что $x=0$ является его решением. Так что Вы правы.

[Cash]

Но дифур решили неверно...

[qweqwe2017]

thething, спасибо.
Странно. А почему тогда нет в ответе? Был ещё один номер, в к-ом не было указано частное решение... Вроде, на опечатку не похоже, да и сборник, кажется, годный: Романко.

[EUgeneUS]

Видимо, потому не указано в ответе, что $y=0$ - одна из функций $y=f(x)$, а $x=0$ - нет.

[thething]

qweqwe2017
Если бы уравнение было изначально записано в виде $y'=...$, то $x=0$ не могло бы быть его решением, а так.. Кто их знает, почему не включили в ответ.

[qweqwe2017]

Cash, разве?
$ (\frac{1}{y}+\frac{y}{1+y^2})dy=\frac{dx}{x} $, ну а дальше уже всё.

[Cash]

Это верно, а вот в "дальше всё" у вас и ошибка.
Даже две...

[qweqwe2017]

Cash,
$ \ln(y)+\ln((1+y^2)^{0.5})=\ln(x)+C$,
$\sqrt{y(1+y^2)}=x+C$

[thething]

qweqwe2017
Вы константу лучше с самого начала запишите, как $\ln C$

-- 31.08.2018, 14:27 --

Да и свойства логарифмов применять надо правильно.

[Cash]

qweqwe2017 в сообщении #1335734 писал(а):

Cash,
$ \ln(y)+\ln((1+y^2)^{0.5})=\ln(x)+C$,
$\sqrt{y(1+y^2)}=x+C$

Угу, при переходе от второй к третьей строчке две ошибки.
Перепишите уравнение в виде $\ln f(x,y) = \ln g(x,y)$

[qweqwe2017]

Cash, точно, там же $y^2(1+y^2)$ должно получиться. Спасибо!
thething, а это будет ошибкой, если писать константу так, как у меня? То есть вс равно же ничего не меняется, то ли это $C$, то ли $C^2$, например. Или обязательно тогда переобозначать, нумеровать их?

[thething]

Если Вы напишите константу по-моему, то найдёте у себя еще одну ошибку.

[EUgeneUS]

qweqwe2017

$e^{(\ln x) +C} = x e^C$, а не то, что у Вас.

[qweqwe2017]

EUgeneUS, thething, да, спасибо, теперь ясно.
А всё-таки: можно переходить от одного уравнения к другому, заменяя $C$ на $C^2$?