Не понимаю рассуждения

[Dormidontoff]

В конспекте по адресу http://ium.mccme.ru/postscript/f13/f13- ... ag1_06.pdf у меня проблемы с пониманием доказательства теоремы Гильберта о нулях.
Понятно, что можно представить все $\lambda_p$ так, что во всех их знаменателях встречается конечное число неприводимых. Понятно, как появляется $f$. Но почему считают, что не может случиться такого, что $f(x_1,…,x_m)=q(x_1,…,x_m)$ (не как многочлены, а как значения функций), где $q$ -- один из того конечного числа неприводимых, которые встречаются в знаменателях $\lambda_p$-х?

[vpb]

Dormidontoff

1) Это утверждение ("алгебраическая форма теоремы о нулях") еще называется леммой Зарисского (хотя есть и другие утверждения с тем же названием), а сама теорема о нулях --- это другое.

2) Многочлены --- это не функции, а формальные линейные комбинации одночленов. Каждому многочлену, конечно, можно сопоставить и функцию. Если основное поле бесконечно, то разным многочленам сопоставляются разные функции (е если конечно, то это, вообще говоря, не так).

3) В доказательстве леммы Зарисского используются именно многочлены, а не функции. Так что Ваш вопрос, по существу, не имеет смысла.

4) Вообще, конспект, который Вы читаете, там все правильно и без особых пробелов и скачков, но всё так сжато,
что непонятно, как из него вообще можно что-то понять. Почитайте более расслабленные книжки (поищите по форуму, я недавно писал список книжек по алгебре). Чтоб все по отдельности было написано: теорема о единственности представления функции многочленом; факториальность кольца многочленов от одного переменного; что такое алгебраические и конечные расширения полей; и т.д. и т.п., а не по пять строчек на глубокую теорему.

5) Кстати говоря, известно много доказательств леммы Зарисского, и то, которое в конспекте --- лучшее из существующих, имхо. Так что не поленитесь его таки понять, если что.

[Dormidontoff]

vpb Спасибо!

-- 27.08.2018, 19:41 --

Уважаемый vpb, а можно Вам задать пару вопросов? А то доказательство всё равно понять хочется, прежде чем другие книги искать...
Что значит Ваша фраза "В доказательстве Леммы Зарисского используются именно многочлены, а не функции"?
У нас все $c_{ij}$ и $c_{ijk}$ лежат в присоединении к $\matbf k$ элементов $x_1, \ldots, x_m$, значит, каждый из них -- это частное $a$ и $b$, где $a$ и $b$-- это то, что получилось из двух многочленов с коэффициентами из $\matbf k$, когда в них вместо переменных подставили иксы, так?
P.s. Автор называет эту лемму алгебраической версией Теоремы о Нулях, потому что в прошлой лекции мгновенно выводит последнюю из первой:)

[vpb]

А, понял Ваше затруднение, и почему Вас не понял сначала... $x_1,\ldots,x_m$ алгебраически независимы, по их выбору, поэтому порожденное ими кольцо или подполе изоморфно кольцу многочленов или полю рациональных функций, соответственно. Короче, тут равенство значений многочленов на этих элементах равносильно равенству многочленов. ... Вопрос снят, или еще нет ?

[Dormidontoff]

vpb Да-да-да! Теперь всё понятно. Спасибо... Подумать только -- у меня за месяц без математики до такой степени разложились мозги!