СКП результата аппроксимации по данным, имеющим свои СКП

[humavo]

Добрый день. Вопрос мой не учебный, но производственный. Область - геодинамика, геодезия. Все буквенные обозначения - общематематические.

Пусть имеется ряд точек данных (аргумент $x$, функция $y$).

Ряд этих точек аппроксимируется трендовой прямой с уравнением - полиномом первого порядка $y = Ax + B$. Например, в Excel с помощью функции НАКЛОН или ЛИНЕЙН или выводом уравнения линии тренда на диаграмме $y=f(x)$.

В чём вопрос: как получить оценку точности коэффициента $A$, то есть его СКП (среднюю квадратическую погрешность) ?

В чём сложность: значения величин $x$ известны с абсолютной точностью, а вот каждое значение $y$ имеет свою СКП. Это и нужно учесть при оценке точности.

Насколько я понимаю, если бы все сглаживаемые данные были известны с абсолютной точность, то СКП можно было бы получить при помощи надстройки "Анализ данных/Регрессия".

Мой вариант решения: сначала я воспользовался стандартной методикой оценки точности аргумента многих величин через частные производные. Однако курирующий меня эксперт сказал, что такую методику не применяют в конкретной задаче и посоветовл искать более лакончное решение. Собственно, я вижу, что проблема относится не только к моей области работы (геодезический мониторинг в составе геодинамического мониторинга), но наверняка встречается и иных областях, где анализируют данные измерений, наблюдений.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[GAA]

humavo, проще Вам посмотреть книги (переписывать материал отвечающим очень затруднительно) и задать конкретные вопросы. Смотреть желательно разделы, посвящённые методу наименьших квадратов или линейной регрессии.

Можно в очень старых книгах, например
Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений, 1958.
Крамер Г. Математичнские методы статистики, 1975.

Или в более современных, например
Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика. — М.: Высш. шк., 1984.

Upd. Поскольку тему вернули в «ПРР(М)», то хорошо бы всё же сформулировать задачу. В частности уточнить: имеет ли задача вероятностную трактовку? Если да, то дисперсия «погрешностей» разных измерений различна? И предполагается ли независимость погрешностей измерений?
Если вероятностной трактовки нет, то, как минимум, нужно что-то сказать о «СКП».

Upd2. И при вероятностной трактовке и различных дисперсиях ошибок, видимо, нужно пробовать свести к модели с весами.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[humavo]

GAA
Вероятностная трактовка исключается, оценка точности исходных данных получена методами, специфичными для моей конкретной прикладной области (уравнивание геодезической сети). Специально не описываю задачу в терминах геодезии, чтобы не запутывать.
Каждая точка данных - это величина, отнесённая к циклу повторных измерений, разделённых полугодом времени (примерно), так что они независимы.

[GAA]

При такой формулировке задачи что-то сказать мне затруднительно. Указанная выше книга Линника ориентирована не на математиков. Несмотря на то, что изложение, на мой взгляд, довольно громоздкое, оно подробное, много примеров. Может быть почитаете эту книгу и уточните задачу.
[Если измерения несмещённые (без «систематической ошибки») и ошибки независимы и нормально распределены, то, скорее всего, задача сведётся к построению доверительного интервала для параметра $A$.]

[Pphantom]

Вообще-то именно геодезической литературы, посвященной статистической обработке результатов измерений и, в частности, МНК во всех его видах и разновидностях, существует просто море (ну, например, древний классический учебник: В.Д.Большаков, П.А.Гайдаев, "Теория математической обработки геодезических измерений", имеющийся, наверное, везде, и в интернете тоже). Пока что из описания проблемы следует, что искомый ответ содержится в каждой первой книжке на подобную тему.