Магнитное поле на расстоянии от ферромагнетика

[Physman]

Приветствую! Подскажите, где можно посмотреть что-нибудь релевантное по теме (решение похожей задачи, параметры):

На плоскости лежит магнитная квантовая точка - ферромагнитный параллелограмм (длина, ширина $2r$, толщина $w$). В ней магнитный момент выстроен (и зафиксирован) вдоль оси $z$ - перпендикулярно плоскости. Задача: найти компоненту $z$ магнитного поля на расстоянии $R = (a,b,h)$ от этого цилиндра.

P.S. Источник не точечный, расстояние R сравнимо с размерами цилиндра.

Моё решение:

Сначала рассмотрим поле от точечного диполя (в СИ): $\vec{B}_{1}=\frac{\mu_0}{4\pi}\left(\frac{3\vec{r}(\vec{m}\vec{r})}{r^5}-\frac{\vec{m}}{r^3}\right)$. Здесь $\vec{m}=m\hat{z}$ - магнитный момент. Тогда $B_{1z}=\frac{\mu_0}{4\pi}\left(\frac{3z(m_z z)}{r^5}-\frac{m_z}{r^3}\right)$.

Если источник не точечный, то вместо магнитного момента нужно использовать распределённую (остаточную) намагниченность $M$, и компонента $z$ магнитного поля на расстоянии $R$ выглядит так: $B_z(a,b,h)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_a^{a+2r}dx\int_b^{b+2r}dy\int_h^{h+w}dzM(x,y,z)\frac{2z^2-x^2-y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}$.

Всё численно считается, для типичного ферромагнетика получается пиковое поле порядка 1-10 мТл (для квантовой точки с микронными размерами). Есть ли способ получить бОльшие поля?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи (как вариант - явное указание, что Вас интересует только ответ).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Theoristos]

Physman: поле от намагниченного прямоугольного параллелепипеда находится аналитически. Проще всего - интегрированием "потенциала". Правда выражение громоздкое. Если надо могу попробовать привести.
Решение такое, что поле в центре грани ниже характерного поля внутри магнита, зависит от толщины магнита, но не превосходит его. По краям есть некоторые пики-выбросы, но не кардинальные. Как кардинально увеличить поле без увеличения намагниченности материала я не особо представляю.
Тут была забавная дискуссия про концентрацию магнитного потока в сужающемся ферромагнетике, если на краё нарастить ферромагнитную иглу - может быть на её вершине поле будет и побольше.

[Physman]

Theoristos в сообщении #1334776 писал(а):

Physman: поле от намагниченного прямоугольного параллелепипеда находится аналитически. Проще всего - интегрированием "потенциала". Правда выражение громоздкое. Если надо могу попробовать привести.

Да, разумеется, хотелось бы увидеть формулу и как она получается!

[Munin]

В начале в теме был не параллелограмм, а цилиндр (и следы этого ещё остались).

[Physman]

Munin в сообщении #1334795 писал(а):

В начале в теме был не параллелограмм, а цилиндр (и следы этого ещё остались).

Да, сначала я описывал цилиндр. Можно и цилиндр (для меня это не принципиально). Если по каким-то соображениям проще рассмотреть цилиндр - тоже годится, very welcome!

Просто я тут почитал, экспериментаторы часто ростят именно параллелограммы - см. например P. Vavassori et al., Journal of Applied Physics 88, 999 (2000).

Но качественной разницы в данном случае я не вижу. На самом деле, трёхмерный интеграл из моего первого сообщения в теме действительно берётся аналитически, но там громоздкая формула получается.

(Оффтоп)

График могу привести, но как его загрузить сюда? Надо ведь сначала ссылку приготовить...

[Theoristos]

B_z, к примеру, имеет вид
\frac{\text{B0} \left(\frac{(\text{dz}-z)^2}{\left(\text{dy}-y+\sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}-z)^2}\right) \sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}-z)^2}}-\frac{(\text{dz}-z)^2}{\left(\text{dy}-y+\sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}-z)^2}\right) \sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}-z)^2}}+\frac{(z-\text{dz}) (\text{dz}-z)}{\left(-\text{dy}-y+\sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}-z)^2}\right) \sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}-z)^2}}-\frac{(z-\text{dz}) (\text{dz}-z)}{\left(-\text{dy}-y+\sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}-z)^2}\right) \sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}-z)^2}}+(x-\text{dx}) \left(\frac{\frac{(\text{dy}-y) (\text{dz}-z)^2}{(x-\text{dx}) \left((x-\text{dx})^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}-z)^2\right)^{3/2}}-\frac{\text{dy}-y}{(x-\text{dx}) \sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}-z)^2}}}{\frac{(\text{dy}-y)^2 (\text{dz}-z)^2}{(x-\text{dx})^2 \left((x-\text{dx})^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}-z)^2\right)}+1}+\frac{\frac{(\text{dy}+y) (\text{dz}-z)^2}{(x-\text{dx}) \left((x-\text{dx})^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}-z)^2\right)^{3/2}}-\frac{\text{dy}+y}{(x-\text{dx}) \sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}-z)^2}}}{\frac{(\text{dy}+y)^2 (\text{dz}-z)^2}{(x-\text{dx})^2 \left((x-\text{dx})^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}-z)^2\right)}+1}+\frac{\frac{\text{dy}-y}{(x-\text{dx}) \sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}+z)^2}}-\frac{(\text{dy}-y) (\text{dz}+z)^2}{(x-\text{dx}) \left((x-\text{dx})^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}+z)^2\right)^{3/2}}}{\frac{(\text{dy}-y)^2 (\text{dz}+z)^2}{(x-\text{dx})^2 \left((x-\text{dx})^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}+z)^2\right)}+1}+\frac{\frac{\text{dy}+y}{(x-\text{dx}) \sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}+z)^2}}-\frac{(\text{dy}+y) (\text{dz}+z)^2}{(x-\text{dx}) \left((x-\text{dx})^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}+z)^2\right)^{3/2}}}{\frac{(\text{dy}+y)^2 (\text{dz}+z)^2}{(x-\text{dx})^2 \left((x-\text{dx})^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}+z)^2\right)}+1}\right)-(\text{dx}+x) \left(\frac{\frac{(\text{dy}-y) (\text{dz}-z)^2}{(\text{dx}+x) \left((\text{dx}+x)^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}-z)^2\right)^{3/2}}-\frac{\text{dy}-y}{(\text{dx}+x) \sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}-z)^2}}}{\frac{(\text{dy}-y)^2 (\text{dz}-z)^2}{(\text{dx}+x)^2 \left((\text{dx}+x)^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}-z)^2\right)}+1}+\frac{\frac{(\text{dy}+y) (\text{dz}-z)^2}{(\text{dx}+x) \left((\text{dx}+x)^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}-z)^2\right)^{3/2}}-\frac{\text{dy}+y}{(\text{dx}+x) \sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}-z)^2}}}{\frac{(\text{dy}+y)^2 (\text{dz}-z)^2}{(\text{dx}+x)^2 \left((\text{dx}+x)^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}-z)^2\right)}+1}+\frac{\frac{\text{dy}-y}{(\text{dx}+x) \sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}+z)^2}}-\frac{(\text{dy}-y) (\text{dz}+z)^2}{(\text{dx}+x) \left((\text{dx}+x)^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}+z)^2\right)^{3/2}}}{\frac{(\text{dy}-y)^2 (\text{dz}+z)^2}{(\text{dx}+x)^2 \left((\text{dx}+x)^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}+z)^2\right)}+1}+\frac{\frac{\text{dy}+y}{(\text{dx}+x) \sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}+z)^2}}-\frac{(\text{dy}+y) (\text{dz}+z)^2}{(\text{dx}+x) \left((\text{dx}+x)^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}+z)^2\right)^{3/2}}}{\frac{(\text{dy}+y)^2 (\text{dz}+z)^2}{(\text{dx}+x)^2 \left((\text{dx}+x)^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}+z)^2\right)}+1}\right)+\log \left(\text{dy}-y+\sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}-z)^2}\right)-\log \left(\text{dy}-y+\sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}-z)^2}\right)-\log \left(-\text{dy}-y+\sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}-z)^2}\right)+\log \left(-\text{dy}-y+\sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}-z)^2}\right)-\log \left(\text{dy}-y+\sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}+z)^2}\right)+\log \left(\text{dy}-y+\sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}+z)^2}\right)+\log \left(-\text{dy}-y+\sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}+z)^2}\right)-\log \left(-\text{dy}-y+\sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}+z)^2}\right)+\frac{(\text{dy}-y) \left(-\frac{\text{dz}-z}{\sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}-z)^2}}-1\right)}{\text{dz}-z+\sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}-z)^2}}+\frac{(\text{dy}+y) \left(-\frac{\text{dz}-z}{\sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}-z)^2}}-1\right)}{\text{dz}-z+\sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}-z)^2}}-(\text{dz}+z) \left(\frac{\text{dz}+z}{\sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}+z)^2} \left(\text{dy}-y+\sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}+z)^2}\right)}-\frac{\text{dz}+z}{\sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}+z)^2} \left(-\text{dy}-y+\sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}+z)^2}\right)}\right)+(\text{dz}+z) \left(\frac{\text{dz}+z}{\sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}+z)^2} \left(\text{dy}-y+\sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}+z)^2}\right)}-\frac{\text{dz}+z}{\sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}+z)^2} \left(-\text{dy}-y+\sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}+z)^2}\right)}\right)-\frac{(\text{dy}-y) \left(-\frac{\text{dz}-z}{\sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}-z)^2}}-1\right)}{\text{dz}-z+\sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}-z)^2}}-\frac{(\text{dy}+y) \left(-\frac{\text{dz}-z}{\sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}-z)^2}}-1\right)}{\text{dz}-z+\sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}-z)^2}}-\frac{(y-\text{dy}) \left(\frac{\text{dz}+z}{\sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}+z)^2}}-1\right)}{-\text{dz}-z+\sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}+z)^2}}+\frac{(y-\text{dy}) \left(\frac{\text{dz}+z}{\sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}+z)^2}}-1\right)}{-\text{dz}-z+\sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}-y)^2+(\text{dz}+z)^2}}+\frac{(\text{dy}+y) \left(\frac{\text{dz}+z}{\sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}+z)^2}}-1\right)}{-\text{dz}-z+\sqrt{(x-\text{dx})^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}+z)^2}}-\frac{(\text{dy}+y) \left(\frac{\text{dz}+z}{\sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}+z)^2}}-1\right)}{-\text{dz}-z+\sqrt{(\text{dx}+x)^2+(\text{dy}+y)^2+(\text{dz}+z)^2}}\right)}{4 \pi }$
(всё не показывает, скопируйте и вставьте в процессор LaTeX-а без обрезания)
Центр магнита в начале координат, $dx,dy,dz$-полуразмеры по осям, $x,y,z$- точка в которой считается поле, $B_0$ - собственное поле внутри магнита/тонкой поперечной щели.
Считается именно так - взятием определенного интеграла от потенциала по двум прямогольникам, а потом вычислением градиента потенциала. Лучше в Математике или Мейпле. Стартовое выражение довольно небольшое, но при подставлении пределов и диференцировании - разрастается.
В таком виде поле имеет верное выражение снаружи магнита и должно быть откорректировано внутри.
Для реального магнита есть некоторые тонкости, но малозаметные, и обычно не в сторону повышения поля.

Для цилиндра в общем виде аналитического выражения не получить, разве что поле на оси.

Графики заливать на хостинги картинок типа http://piccy.info/ или http://fastpic.ru/, ссылку на картинку вставлять в сообщение.

[Physman]

Theoristos в сообщении #1334802 писал(а):

B_z, к примеру, имеет вид...

Что значит "к примеру"? И откуда эта формула? И как тут рассчитывается $B_0$? Хотелось бы больше подробностей...

Theoristos в сообщении #1334802 писал(а):

Считается именно так - взятием определенного интеграла от потенциала по двум прямогольникам, а потом вычислением градиента потенциала.

А что это за потенциал? И почему магнитное поле стало градиентом потенциала? Оно вроде как ротором векторного потенциала было.

Theoristos в сообщении #1334802 писал(а):

Графики заливать на хостинги картинок типа http://piccy.info/ или http://fastpic.ru/, ссылку на картинку вставлять в сообщение.

Спасибо!

[Theoristos]

Physman в сообщении #1334825 писал(а):

Что значит "к примеру"?

Это значит, что есть и Bx, и By, не меньшего размера. И меня наверное точно забанят, если я вывалю всё.

Physman в сообщении #1334825 писал(а):

И откуда эта формула?

Процитирую

Theoristos в сообщении #1334802 писал(а):

Считается именно так - взятием определенного интеграла от потенциала по двум прямогольникам, а потом вычислением градиента потенциала.

Physman в сообщении #1334825 писал(а):

И как тут рассчитывается $B_0$?

Это константа.
Она, конечно связана с другими константами, типа намагниченности материала, или поверхностного тока, разницы никакой. Но в целом мне удобнее использовать именно её, тем более, что для магнитов большей частью даются именно оно.

Physman в сообщении #1334825 писал(а):

А что это за потенциал? И почему магнитное поле стало градиентом потенциала? Оно вроде как ротором векторного потенциала было.

В пустом внешнем пространстве и уравнения электростатики, и электродинамики одинаковы. Так, что источником магнитного поля можно чисто формально представить некие "магнитные заряды", размазанные по плоскостям полюсов. Это удобнее - проще интегрировать, проще интегралы, проще выражения. Разницы же в итоговом выражении для внешнего поля никакой нет (разве что некоторые тонкости с топологией, но не в таком простом случае).

[Munin]

Theoristos в сообщении #1334841 писал(а):

И меня наверное точно забанят, если я вывалю всё.

:-)

Забанить не забанят, но я бы всё-таки привёл формулу к такому виду, чтобы её можно было прочитать полностью. Если это вывод из Mathematica или Maple, то можно вставить её в code или syntax.

Может, проще привести формулу для потенциала.

-- 27.08.2018 16:07:34 --

Theoristos в сообщении #1334802 писал(а):

Для цилиндра в общем виде аналитического выражения не получить

И всё-таки, почему это? (Функции Бесселя традиционно относятся к "разрешённым" средствам.)

[photon]

Theoristos в сообщении #1334802 писал(а):

всё не показывает, скопируйте и вставьте в процессор LaTeX-а без обрезания)

Обрезает по ширине странице. Если вы перенесете части формулы на новые строки, то можно будет и тут нормально все посмотреть.
Попутно вопрос: в использовании $\text{dx}$ какой-то скрытый смысл? - $dx$ или $\partial x$ не подходят?

[Munin]

photon
Я пробовал. Формула слишком большая, её всё равно надо долго переформатировать.

[photon]

Если совсем никак, то можно разбить на части, переобозначить фрагменты... В том виде, в котором оно есть, даже если бы формула отобразилась, анализировать ее будет неудобно.

[Physman]

Theoristos в сообщении #1334841 писал(а):

Так, что источником магнитного поля можно чисто формально представить некие "магнитные заряды", размазанные по плоскостям полюсов.

Хотелось бы почитать какую-нибудь литературу по теме, откуда взята эта теория (подход), где можно посмотреть вид "вашего" потенциала. Исходные формулы не должны быть слишком громоздкие.

Theoristos в сообщении #1334841 писал(а):

Процитирую
Theoristos в сообщении #1334802

писал(а):
Считается именно так - взятием определенного интеграла от потенциала по двум прямогольникам, а потом вычислением градиента потенциала.

Почему прямоугольников всего 2? Пространство же 3Д?

Пока то, что вы прислали, к сожалению, невозможно понять и/или использовать. Сумбур какой-то.

И вот ещё вопрос. Почему нельзя использовать приведённый мной в первом сообщении расчёт? Там тоже интегрирование по 3Д объёму, вместо эффективного заряда - диполь, только всё выглядит гораздо компактнее, понятнее и проще.