О единственности траектории светового луча при преломлении

[misha.physics]

Здравствуйте. Возник интересный (для меня) вопрос. Чтобы было понятнее, сформулирую его несколькими способами.
Пусть в вакууме есть стеклянная пластинка. Возьмем лазер и закрепим его в точке $O$.
Вот рисунок:

(Оффтоп)

Пусть траектория светового луча такая, как показано на рисунке.

Вопрос

Можно ли доказать, что не существует траектории луча, проходящего через точки $O$ и $O'$, но не проходящего через точку $B$?
То есть, мы зафиксировали лазер, заставив луч двигаться от $O$ к $O'$. Можно ли доказать, что после точки $O'$ луч будет двигаться по единственной (то есть по какой-то определенной, в нашем случае, проходящей через точку $B$) траектории?
То есть, можно ли доказать, что нельзя найти такую точку $C$, не лежащую на прямой $O''B$, что луч пройдет по траектории, содержащей точки $O, O'$ и $C$?

Меня сейчас интересует не приведение самого доказательства, а то, можно ли это сделать и какая может быть идея этого доказательства. Из чего здесь можно исходить. Просто само это утверждение мне кажется неочевидным. То, что нельзя выбрать хотя бы ещё одну такую точку $C$. Интересует также, насколько сложным (с субъективной точки зрения) может быть такое доказательство.

Вопрос этот у меня возник из таких соображений. Если мы закрепим лазер и направим его вдоль прямой $OO'$, то что-то мне подсказывает (основываясь на повседневном опыте), что у него будет единственная траектория, то есть, что он не расщепится на несколько лучей. Вот и хочется понять так ли это и как в принципе это можно доказать.

[Geen]

Линза...

[misha.physics]

То есть, я понимаю, что луч движеться по траектории $OO'O''B$ потому что этот путь наименее затратный по времени прохождении луча. Или более строго, что небольшие отклонения от этого пути ведут к "небольшим" изменениям этого времени. Просто для меня неочевидно, что нельзя найти какую-то другую траекторию для которой это время будет тоже минимальным среди других возможных.

-- 23 авг 2018, 23:41 --

Geen,

Geen в сообщении #1334222 писал(а):

Линза...

Да, там понятно, там форма стекла специально такая, чтобы время прохождения по разным путям было одинаково. Здесь же у нас просто плоская пластинка.

[Geen]

misha.physics в сообщении #1334223 писал(а):

там форма стекла специально такая

Наоборот...

Ещё есть термин "каустика".

[Munin]

Хинт. На каждой границе раздела сред луч расщепляется на преломлённый и отражённый. Так что, в приведённой картине будут как минимум два ещё отражённых луча (а на самом деле, больше). (Уточнения к этому скрываются под названиями полное внутреннее отражение и угол Брюстера.)

[misha.physics]

Geen,

Geen в сообщении #1334226 писал(а):

Ещё есть термин "каустика".

Спасибо, интересное явление, но я пока с ним не знаком

Munin,

Munin в сообщении #1334234 писал(а):

Хинт. На каждой границе раздела сред луч расщепляется на преломлённый и отражённый. Так что, в приведённой картине будут как минимум два ещё отражённых луча (а на самом деле, больше). (Уточнения к этому скрываются под названиями полное внутреннее отражение и угол Брюстера.)

Да, спасибо. Я просто решил не учытывать это явление чтобы не усложнять картинку.

Вопрос у меня больше геометрический. Немного подумав, мне кажется, что если мы сможем доказать, что падающий луч и луч который вышел из пластинки параллельны, то из этого будет следовать, что из пластинки выйдет только один луч. Потому что если падающий и прошедший лучи параллельны, то понятно, что выйдет только один луч (картинка):

(Оффтоп)

Здесь очевидно, что реализуется какая-то одна траектория. Для которой время прохождение будет наименьшим (для данных показателей преломления среды).

Просто я себе представлял, почему не может быть вот так, например (картинка):

(Оффтоп)

То есть, почему не реализуется траектория $OO'O''C$. Почему если мы закрепили точки $O$ и $C$, то "истинной" траекторией будет та, для которой падающий и проходящий луч будут именно параллельны. Здесь нужны какие-то дополнительные предположения о симметрии или это геометрическое свойство? Ведь то, что луч не пойдет по траектории $OO'O''C$, означает, что для закрепленных концов $O$ и $C$ существует другая, более короткая по времени траектория. И это как раз будет траектория, в которой падающий и прошедший лучи параллельны. Это же геометрическое свойство какое-то, правда?

-- 24 авг 2018, 11:36 --

Geen,

Geen в сообщении #1334226 писал(а):

Наоборот...

Да, я имел в виду, что форму линзы делают специально такой, чтобы свет проходил сразу "по всем" траекториям. Но это можно и в обратную сторону обернуть: что свет проходит сразу "по всем" траекториям потому что форма линзы такая.

[Dmitriy40]

misha.physics
Последние Ваши картинки с чёрно-красными лучами противоречат принципу Гюйгенса-Френеля. Я ещё помню как в школе аккуратно строили волновые фронты и убеждались что таки да, закон преломления правилен. Это первое.

Второе, ну возьмите и найдите сами решение: запишите уравнение распространения луча из исходной точки под заданным углом (или координатой падения на пластинку), т.е. с одной степенью свободы, доведите его до пластинки, сквозь неё, до приёмника. Скорости луча при этом должны быть разными вне и внутри пластинки. А потом ищите глобальные минимумы времени в пути. Сколько их найдёте - столько и будет траекторий. Мне задача не кажется неподъёмной, хотя выписывать формулы и лень. Тут даже закон преломления не особо нужен, всё равно его автоматом получите. Для идеальной линзы траекторий будет континуум, для двойного клина (две призмы с общим основанием) две, для плоскопараллельной пластинки один.

А геометрическое свойство да, раз уж Вы взяли именно плоскопараллельную пластинку, то она имеет вот такое геометрическое свойство (пока не достигаются углы полного внутреннего отражения, что правда в таком опыте и невозможно).

[iifat]

Dmitriy40 в сообщении #1334328 писал(а):

глобальные минимумы времени

Разве глобальные? Разве минимумы? Вроде бы, подойдёт любой локальный экстремум. И даже не экстремум, лишь бы первая производная была нулевой.

[DimaM]

На самом деле свет идет по всем возможным траекториям. Но за счет интерференции результат определяют в основном те траектории, которые "в фазе".
Если на пластине нарисовать полосок черной краской, можно направить прошедший луч в совершенно другом направлении (см. дифракционная решетка).

[arseniiv]

misha.physics в сообщении #1334309 писал(а):

Здесь нужны какие-то дополнительные предположения о симметрии или это геометрическое свойство?

И симметрии кстати тоже (это конкретно к вашему вопросу о параллельности падающего и выходящего из пластинки лучей). Пусть мы знаем, что луч внутри пластинки идёт по прямой $O''O'$, тогда он должен выйти по прямой $O'O$, потому что такое даёт обращение времени. Теперь ещё и перевернём пластинку так, чтобы $O', O''$ перешли друг в друга, и получается что надо.

[realeugene]

misha.physics в сообщении #1334309 писал(а):

Ведь то, что луч не пойдет по траектории $OO'O''C$, означает, что для закрепленных концов $O$ и $C$ существует другая, более короткая по времени траектория. И это как раз будет траектория, в которой падающий и прошедший лучи параллельны.

А то, как из условия экстремальности времени распространения луча получается закон Снелля для преломления, вы знаете? Если нет - выведите его сами, это задача на минимизацию функции одной переменной и должна быть доступна первокурснику, начавшему знакомство с матанализом. Параллельность выходящего луча для плоскопараллельной пластинки входящему лучу следует чисто геометрически из применения закона Снелля для обеих границ: в глобальном минимуме непрерывно дифференцируемой функции должен быть минимум функции по каждой координате, поэтому, закон Снелля можно применять независимо.

-- 24.08.2018, 16:18 --

Dmitriy40 в сообщении #1334328 писал(а):

А потом ищите глобальные минимумы времени в пути. Сколько их найдёте - столько и будет траекторий.

Всё-таки если минимумов несколько, то почти наверное все они кроме одного не являются глобальными минимумами.
Искать нужно любые локальные экстремумы. И если их несколько - значит есть несколько направлений, куда можно пульнуть лазерным лучом и попасть в цель (например, прямо и через зеркало сзади).

[misha.physics]

Dmitriy40,

Dmitriy40 в сообщении #1334328 писал(а):

Я ещё помню как в школе аккуратно строили волновые фронты и убеждались что таки да, закон преломления правилен. Это первое.

Спасибо, что напомнили об этом. Мы в школе, кажется, такое не строили, но в университете припоминаю было что-то такое на оптике.
Спасибо за идею аналитического способа доказательства (через уравнение). Я себе представляю его в общих чертах.

DimaM,

DimaM в сообщении #1334332 писал(а):

Если на пластине нарисовать полосок черной краской, можно направить прошедший луч в совершенно другом направлении (см. дифракционная решетка).

Спасибо, я просто отвлекся от дифракционных эффектов.

arseniiv,

arseniiv в сообщении #1334337 писал(а):

И симметрии кстати тоже (это конкретно к вашему вопросу о параллельности падающего и выходящего из пластинки лучей). Пусть мы знаем, что луч внутри пластинки идёт по прямой $O''O'$, тогда он должен выйти по прямой $O'O$, потому что такое даёт обращение времени. Теперь ещё и перевернём пластинку так, чтобы $O', O''$ перешли друг в друга, и получается что надо.

Спасибо, согласен, так нагляднее. В физике бывает часто пользуются такими приемами для каких-то доказательств. Например, при рассмотрении обратимой машины, чтобы доказать сохраняемость энергии (об этом у Фейнмана есть). Машину пускают сначала в одном, а потом в обратном цикле...

realeugene,

realeugene в сообщении #1334348 писал(а):

А то, как из условия экстремальности времени распространения луча получается закон Снелля для преломления, вы знаете?

Я знаю как это доказать с помощью условия экстремальности, но не так строго как через вариацию уравнения луча, а так, как это сделано у Фейнмана. Там это геометрическим путем делается.

realeugene в сообщении #1334348 писал(а):

Параллельность выходящего луча для плоскопараллельной пластинки входящему лучу следует чисто геометрически из применения закона Снелля для обеих границ.

Да, понимаю.
===
В общем, идея понятна. Или аналитически или же принять на веру симметрию, что тоже довольно мощный инструмент в физике. Спасибо всем за помощь :)

[realeugene]

misha.physics в сообщении #1334368 писал(а):

Я знаю как это доказать с помощью условия экстремальности, но не так строго как через вариацию уравнения луча

Вариация уравнения луча нужна чтобы доказать, что в однородной среде луч распространяется по прямой. Для этого, действительно, требуется вариационное исчисление. Для вывода закона Снелля исходя из того, что в каждой среде луч прямой, требуется только уметь искать минимум функции одной переменной.

[misha.physics]

realeugene,
Спасибо, я наверное сейчас задачу о поиске экстремума и вариационную задачу не очень для себя четко разделяю, поэтому иногда неаккуратно употребляю эти понятия. Моих знаний только о том, что экстремум относится к функциям, а вариация к функционалам пока недостаточно.

[realeugene]

misha.physics в сообщении #1334389 писал(а):

Моих знаний только о том, что экстремум относится к функциям, а вариация к функционалам пока недостаточно.

Вы не знакомы даже с матаном?

Пусть на вашей картинке только одна граница: сначала луч идёт в однородной среде с показателем преломления $n_1$, а потом в среде с показателем преломления $n_2$. Задайте начальную и конечную точки (произвольные постоянные положения), координата точки, в которой луч пересекает границу пусть будет $x$ - переменная. Запишите функцию зависимости времени распространения луча из начальной точки в конечную $t(x)$ при условии, что путь луча состоит из двух отрезков, и найдите условие, при котором это время будет минимальным. Сможете?