Неоклассическая теория производства и распределения ВНП.

[Pulseofmalstrem]

Добрый день, при чтении учебника Н. Грегори Мэнкью по макроэкономика в главе про производство и распределение ВНП у меня возникло сомнение, что излагаемая там теория вообще дает ответ на поставленный вопрос. Для лучшего объяснения моих возражений я сначала изложу саму теорию, а потом продемонстрирую, почему, на мой взгляд, она не работает.

1. Общая модель.
Итак согласно предлагаемый читателю модели двумя факторами производства являются капитал $K$ и труд $L$, причем технологические детали процесса производства описываются производственной функцией $Y = F(K,L)$, которая обладает постоянной отдачей от масштаба. В моем изложении для большей конкретики я буду пользоваться стандартной производственной функцией:$F(K,L) = AK^{\alpha}L^{1-\alpha}$,$A = \operatorname{const}, \alpha \in (0,1)$
Основным объектом рассмотрения является малая конкурентная фирма, которая арендует капитал и нанимает работников, чтобы обеспечить выпуск продукции и получить прибыль, продавая ее на рынке. Так как фирма малая, то ее деятельность не изменяет рыночных цен на труд, капитал и производимый товар, так что данные параметры являются внешними для нашей модели. Так $W$ - фиксированная заработная плата за труд, $R$ - рента за капитал, а $P$ - цена единицы товара. При принятии решения фирма старается максемизировать прибыль.

2. Предельный продукт труда.
Для решения задачи о поведении фирма предлагается рассмотреть такие понятия, как предельный продукт труда:
$MPL = F(K^{*}, L + 1) - F(K^{*}, L) = \frac{\partial F}{\partial L}(K^{*}, L)$
При этом постулируется, что при постоянном объеме капитала предельный продукт труда убывает, что логично. Так как фирма стремится максемизировать прибыль, то она будет продолжать нанимать работников до тех пор, пока цена продажи предельного продукта труда не сравняется с заработной платой.
$P \ast MPL = W$
Откуда следует знаменитый закон:
$MLP = \frac{W}{P}$ - предельный продукт труда равен реальной заработной плате.

3. Предельный продукт капитала.
Аналогично вводится предельный продукт капитала $MPK$ и показывается, что он равен реальной плате за использование капитала:
$MPK = \frac{R}{P}$

4. Итог модели.
Таким образом утверждается, что фирма будет нанимать работников и арендововать капитал, до тех пор пока не уравняет реальные цены на труд и капитал и их предельные продукты.

Мои возражения.
Однако мне кажется, что данный анализ попусту некорректен, так как при рассмотрении предельных продуктов труда и капитала мы всегда разрешали нанимать работников (до-арендовать капитал) при фиксированном количестве арендованного капитала (нанятых работников), но в реальности фирма может менять количество нанятого труда и арендованного капитала одновременно, таким образом надо следить за изменениями двух предельных продуктов труда и капитала не в отрыве друг от друга, а в виде одной системы. Однако в таком случае нет оснований полагать, что, например, при одновременном росте числа работников и арендованного оборудование предельные продукты будут падать. Это можно увидеть, хотя бы, на уровне мысленного эксперимента: если рядом с заводом поставить еще один второй завод - то объем выпускаемой продукции удвоится, однако предельные продукты труда и капитала не изменятся. Таким образом фирме будет выгодно наращивать объем задействованного капитала и труда до бесконечности, так как в нашей модели нет никаких внешних ограничений, и со временем она перестанет быть малой.

Справедливость данного возражения можно увидеть, если попытаться по методу данной модели вычислить объем занятого труда и капитала для стандартной производящей функции: $F(K,L) = AK^{\alpha}L^{1-\alpha}$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &MKP= \frac{R}{P}& \\ &MPL=\frac{W}{P}& \\ \end{array} \right.$$

$MPL = \frac{\partial F}{\partial L} = A(1 - \alpha)K^{\alpha}L^{-\alpha}$
$MPK = \frac{\partial F}{\partial K} = A \alpha K^{\alpha - 1}L^{1-\alpha}$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &A(1 - \alpha)K^{\alpha}L^{-\alpha}= \frac{W}{P}& \\ &A \alpha K^{\alpha - 1}L^{1-\alpha}=\frac{R}{P}& \\ \end{array} \right.$$

Данная система не имеет однозначного ответа, если поделить первое уравнение на второе, то будет видно, что труд и капитал прямо пропорциональны друг другу. Таким образом выражая труд через капитал и подставляя в изначальные уравнение мы увидим, что труд сокращается и ответ получить не удается. Это просто следствие того, что у функции прибыли нет стационарных точек.
Лично мне кажется, что данной модели необходимы ограничения на суммарный объем возможных инвестиций, которые может осуществить фирма, то есть необходимо добавлять финансовый рынок, на котором фирма берет кредит для организации производства и вводит в модель совокупный объем капитала, труда и денежной массы, доступной обществу.

[dsge]

Pulseofmalstrem в сообщении #1333885 писал(а):

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &A(1 - \alpha)K^{\alpha}L^{-\alpha}= \frac{W}{P}& \\ &A \alpha K^{\alpha - 1}L^{1-\alpha}=\frac{R}{P}& \\ \end{array} \right.$$

Данная система не имеет однозначного ответа, если поделить первое уравнение на второе, то будет видно, что труд и капитал прямо пропорциональны друг другу. Таким образом выражая труд через капитал и подставляя в изначальные уравнение мы увидим, что труд сокращается и ответ получить не удается.

Это система двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными, имеет единственное решение. "Выражая труд через капитал и подставляя в" первое уравнение, получим $L^{1-\alpha}$ равно константе, после чего найдем труд.

Pulseofmalstrem в сообщении #1333885 писал(а):

Лично мне кажется, что данной модели необходимы ограничения на суммарный объем возможных инвестиций, которые может осуществить фирма, то есть необходимо добавлять финансовый рынок, на котором фирма берет кредит для организации производства и вводит в модель совокупный объем капитала, труда и денежной массы, доступной обществу.

Да, конечно, так и делается в моделях общего равновесия. Учебник Мэнкью предназначен для первоначального ознакомления с предметом с целью быть подготовленным для чтения более серьезных книг. Мэнкью не требует сложной математики и все модели представлены настолько просто, насколько это возможно.

[Pulseofmalstrem]

dsge
Извините, поправьте меня, если что не так, но разве после всех операций не получим нечто такое:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &A(1 - \alpha)K^{\alpha}L^{-\alpha}= \frac{W}{P}& \\ &A \alpha K^{\alpha - 1}L^{1 -\alpha}= \frac{R}{P}& \\ \end{array} \right.$$

Из первой строчки:
$K^{\alpha} = \frac{W L^{\alpha}}{PA(1 - \alpha)}$
Извлекая корень степени $\alpha$ (числа положительные, проблем быть не должно):
$K= L(\frac{W }{PA(1 - \alpha)})^{-\alpha}= C L$
Теперь подставляя это во второе уравнение, мы увидим, что труд просто сократится:
$A \alpha C^{\alpha - 1}= \frac{R}{P}$ -это вообще недотождество, которое не всегда выполняется.

[dsge]

А, да. Это

dsge в сообщении #1333970 писал(а):

Это система двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными, имеет единственное решение. "Выражая труд через капитал и подставляя в" первое уравнение, получим $L^{1-\alpha}$ равно константе, после чего найдем труд.

ерунда написана.
Количество капитала и труда определяется из условий минимизации издержек $cost=\min_{L,K}( wL+rK)$ при ограничении $PAK^{\alpha}L^{1-\alpha}=y$. В этой задаче количество проданной продукции $y$ считается константой и зависит от внешнего спроса на товар.

[Pulseofmalstrem]

dsge
Но в макроэкономических моделях спрос на товар будет связан с совокупным потреблением, которое в свою очередь зависит через склонность к потреблению от доходов домохозяйств. А как известно доходы домохозяйств - это и есть те самые издержки, которые мы минимизируем, + экономическая прибыль предприятий (в учебнике сказано, что если производящая функция обладает постоянной отдачей от масштаба, то экономическая прибыль равно нулю, так что я привел ее ради общности).
То есть минимизируя издержки мы заодно снижаем совокупный спрос. Кстати, почему мы вообще можем приравнивать совокупный спрос (в данный момент) с объем производимой в настоящее время продукции. Мы ведь тогда фактически предполагаем, что время необходимое на производство и продажу мало по сравнению с временами, в течение которых мы производим наблюдение, а данное предположение далеко не всегда столь очевидно, чтобы его можно было так безоговорочно принять.

[dsge]

Pulseofmalstrem в сообщении #1334004 писал(а):

То есть минимизируя издержки мы заодно снижаем совокупный спрос

Необязательно. Модель фирмы - это модель частного равновесия и в ней допускается, что зарплаты и спрос фиксированы и заданы извне. Фирмы могут минимизировать издержки,изменяя количество рабочей силы и капитала.
В моделях общего равновесия учитываются уже домохозяйства, которые максимизируют свою полезность. В общем равновесии зарплаты уже не фиксированы и в результате может получиться, что фирмы сократят рабочую силу, но зарплаты поднимутся и в результате спрос увеличится (как и издержки).

Pulseofmalstrem в сообщении #1334004 писал(а):

Кстати, почему мы вообще можем приравнивать совокупный спрос (в данный момент) с объем производимой в настоящее время продукции. Мы ведь тогда фактически предполагаем, что время необходимое на производство и продажу мало по сравнению с временами, в течение которых мы производим наблюдение, а данное предположение далеко не всегда столь очевидно, чтобы его можно было так безоговорочно принять.

Да, при принятии решения фирмы должны ориентироваться на оценку будущего спроса (модели рациональных ожиданий учитывают эти особенности).
Еще раз, учебник Мэнкью - очень простой учебник, предназначенный для первоначального ознакомления с предметом, поэтому там рассматриваются самые простые модели, которые много еще чего не учитывают.