Что за число?

[alcoholist]

g______d в сообщении #1333814 писал(а):

Обращать ряд для синуса я не умею

Maxima дает ряд Тейлора через числа Бернулли

$$ \frac{x}{\sin x}=2\,\sum_{i=0}^{\infty }{\left. \frac{{{\left( -1\right) }^{i-1}}\,\left( {{2}^{2i-1}}-1\right) \,B_{2i}\,{{x}^{2i}}}{(2i)!}\right.} $$

Я тупо возводил начальный отрезок этого ряда в нечетные степени $2k+1$ и смотрел кто там будет при $x^{2k}$. Оказалось, что (OEIS)

$$ \frac{C_{2k}^k}{4^k}. $$

Теперь подставляем в ряд для синуса и получаем

$$ \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\frac{C_{2n}^n}{4^n}=\frac{(-1)^k}{4^k(2k+1)k!^2}. $$

[svv]

Чтобы получить ряд, я воспользовался формулой $\underset{z=0}{\operatorname{res}}\,u(1/V(z))=\sum\limits_{k=0}^\infty k\, u_k\, v_k\;,$ приведённой здесь:
англовики, статья «Residue (complex analysis)», пункт 3.5 «Series methods», пример 2, читать со слов The next example... (там же см. обозначения и условия применения).

У нас $u(z)=V(z)=\sin z$, поэтому $v(z)=\arcsin z$. Ненулевые коэффициенты разложения этих функций в ряд Тейлора в точке $z=0$ равны
$u_{2n+1}=\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}$
$v_{2n+1}=\frac{\Gamma(n+\frac 1 2)}{\sqrt{\pi}(2n+1)n!}=\frac{(2n)!}{(2n+1)(n!)^2 4^n}$
Подставляем коэффициенты в формулу, получаем
$\underset{z=0}{\operatorname{res}}\,\sin(1/\sin(z))=\sum\limits_{k=0}^\infty k\,u_k\,v_k=\sum\limits_{n=0}^\infty (2n+1)\,u_{2n+1}\,v_{2n+1}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)(n!)^2 4^n}$

[alcoholist]

svv
Спасибо за ссылку. Будет полезно.
И все-таки хотелось бы сразу Бесселя...