Обозначим искомое минимальное НОК, как

. Очевидно, что если

кратно

, то ответ

.
Рассмотрим некоторое разложение

на

слагаемых. Пусть

- НОД этих слагаемых, тогда:
1) их НОК равен НОДу, помноженому на НОК чисел, полученных от деления слагаемых на НОД
2)

- делитель

.
Так мы сводим задачу к поиску минимуму величины

по всем

. Здесь

- делители S.
Среднее арифметическое чисел равно

, и их НОК не меньше этого среднего при любом разложении. В том числе и минимальный НОК. То есть

, поэтому чем меньше q, тем лучше. Строгого критерия здесь не находится, особенно если простые делители в

встречаются несколько раз. Поэтому пока просто будем иметь это в виду.
Таким образом, меньшие НОК получаются, если брать делители

, большие

, но как можно меньше.
Так как НОД слагаемых теперь равен 1, то рассмотрим наименьшее из них -

. Оно взаимно простое с НОДом всех остальных по построению. Поэтому НОК равно произведению числа

на НОК остальных. Так что

. Второй множитель с ростом

убывает медленно, зато второй - быстро растет, так что следует брать единицу. Но тогда

.
Тогда,

. И вот мы получили рекуррентную формулу и не забываем, что имеется в виду минимум по всем допустимым делителям суммы. Начинать переборы, как видно, следует с наименьшего делителя, попутно обращая внимание на то, что в какой-то момент среднее превысит уже найденное значение минимального НОК.
К цифрам.
2018 раскладывается на два простых - 2 и 1009. Давайте выберем

:

.
Повезло: 1008 делится на 9 нацело. В частном получится 112, и ответ - 224.
Мы также могли взять

:

- то есть сразу за пределами.
Чтобы исключить что-то пропущенное в изложении выше, проверим другое значение минимального слагаемого, учтя, что НОД теперь не равен 2, то есть есть хотя бы одно нечетное. Тогда любое слагаемое взаимно просто с НОК остальных.

, НОК равен

, где НОК девяти слагаемых

.
Эта функция возрастает при

от 0 до 1009, так что наименьшее ее значение достигается при единице и равно 224,111. Так что этот случай не годится.
Почему были сделаны оговорки о переборе выше? Почему нельзя просто взять наименьшее допустимое

? Рассмотрим задачу

.
Допустимые значения

: 10, 25, 50, 125, 250.
Для 10:

Для 25:

. Если бы мы ограничились предыдущим случаем, упустили бы минимальный.
Для 50:

Вот теперь мы можем законно не смотреть дальше.