Пара вопросов по учебнику Кострикина

[NNDeaz]

Ради закрепления материала решил перечитать "Введение в алгебру" Кострикина. Я заметил, что в этом учебнике есть факты, которые при первом прочтении кажутся не особо важными, но на самом деле в дальнейшем используются при доказательстве некоторых теорем.

В связи с этим появился вопрос. В параграфе "Отношения эквивалентности. Факторизация отображений" показывается, как можно разложить произвольное отображение $f:X \to Y$ в произведение сюръективного отображения $p: X \to X/\omega_f$ и инъективного $\bar{f}: X/\omega_f \to Y$. Здесь $\omega_f$ -- следующее отношение эквивалентности: $x \omega_f x' \Leftrightarrow f(x)=f(x')$.

Зачем нам может потребоваться разлагать отображение в произведение сюръективного и инъективного отображения? Чтобы увидеть некоторое сходство с теоремой о гомоморфизме для групп? Или для того, чтобы определять сюръективность $f$ по сюръективности $\bar{f}$?

Второй вопрос касается линейной оболочки. Множество $V$ всех линейных комбинаций векторов $ X_1, \ldots, X_k $ называют их линейной оболочкой.

Далее в некоторых местах говорится:

Цитата:

$V$ -- линейная оболочка в $\mathbb{R}^n$

Цитата:

для каждой линейной оболочки $V$, входящей в множество

Чем в приведенных выше цитатах линейная оболочка отличается от подпространства?

[arseniiv]

NNDeaz в сообщении #1333178 писал(а):

Зачем нам может потребоваться разлагать отображение в произведение сюръективного и инъективного отображения? Чтобы увидеть некоторое сходство с теоремой о гомоморфизме для групп? Или для того, чтобы определять сюръективность $f$ по сюръективности $\bar{f}$?

Например, отображения $p, \bar f$ могут быть интересными сами по себе или проливать свет на $f$, или $X/\omega_f$ чем-то лучше $X$; отношение $\omega_f$ тоже часто полезно*, ну а если его упоминать, то эту теорему стоит упоминать тоже, ибо для общего случая можно мало что добавить, и без теоремы $\omega_f$ будет не таким интересным. То, что вы предложили, тоже может попадаться.

* Ну и с этим отношением связано разбиение на множества (в конкретных случаях — линии/поверхности etc.) уровня, тоже небесполезное.

NNDeaz в сообщении #1333178 писал(а):

Чем в приведенных выше цитатах линейная оболочка отличается от подпространства?

Можно предположить, что дальше упоминаются векторы, на которые она была натянута. А может быть, в каких-то случаях это просто вольность речи. (Контекста подлиннее вы не дали, искать самому по книге скучно.)

[grizzly]

NNDeaz в сообщении #1333178 писал(а):

Чем в приведенных выше цитатах линейная оболочка отличается от подпространства?

Линейная оболочка, натянутая на какие-то векторы -- это то же, что подпространство, порождённое этими векторами. Но автор всё равно должен был предпочесть один термин другому.

[vpb]

NNDeaz в сообщении #1333178 писал(а):

Зачем нам может потребоваться разлагать отображение в произведение сюръективного и инъективного отображения

Затем, что такое разложение встречается очень часто, и является очень полезным, когда решаются какие-то вопросы про гомоморфизмы групп, или гомоморфизмы колец, или непрерывные отображения топологических пространств, и т.д. и т.п. Короче, сплошь и рядом. Учитесь дальше, и на своем пути встретите множество примеров.