Как мало нечётных чисел может быть?

[Ktina]

В каждую клетку таблицы $6\times 6$ записали целые числа так, чтобы сумма чисел в каждом прямоугольнике $1\times 4$ и $4\times 1$ была чётной, но чтобы сумма всех чисел была нечётной.

Какое наименьшее количество нечётных чисел может быть в этой таблице?

[waxtep]

$9$ - вершины квадрата $5\times5$, середины его сторон и центр.
То, что нельзя $1,3,5$ - легко видеть. $7$ тоже, учитывая, что по строкам возможна только конфигурация $3+2+2$, и $3$ бывает двух видов - $101010$ или $011001$, а $2$ - вообще только одного вида $001100$

[Dendr]

"Видеть" даже не надо, все само получается. Можно заметить, что при таком подходе все плитки 2х4 содержат числа с четной суммой. Но укладывание таких плиток в таблицу оставит незанятыми квадрат 2х2. К примеру, центральный. Сумма в нем нечетна по условию. Все плитки 2х4 - это составленные рядом два квадрата 2х2 - то есть четность квадратов одинакова. Следовательно, любой квадрат 2х2 содержит нечетную сумму, то есть хотя бы одно нечетное число.

Таким образом, в данной таблице должно быть по крайней мере 9 нечетных чисел. Осталось только показать такую конфигурацию, что уже сделано в предыдущем сообщении.

[waxtep]

Dendr в сообщении #1333118 писал(а):

Но укладывание таких плиток в таблицу оставит незанятыми квадрат 2x2. К примеру, центральный.

Красиво Я бы предложил дополнить рассуждение маленькой деталью: мы доказали, что четыре угловых квадрата $2\times2$ и центральный должны содержать хотя бы одно нечетное число каждый. А как быть с оставшимися четырьмя квадратами $2\times2$? Каждый из них нельзя оставить свободными, замостив все остальное четырьмя плитками $2\times4$. Окей, но можно положить три плитки $2\times4$ и оставить свободным один такой квадрат $2\times2$ и два угловых у противоположной стороны. А про эти два угловых мы уже знаем, что в каждом из них должно быть нечетное число нечетных чисел, значит, и в третьем должно быть хотя бы одно. Итого, хотя бы по одному нечетному числу в каждом из $9$ квадратов $2\times2$, разбивающих исходный.