Теорема Кантора - Бернштейна в категории групп

[ikozyrev]

Решаю задачку: верен ли аналог теоремы Кантора - Бернштейна для категории групп: "Если одна группа изоморфна собственной подгруппе второй группы, а вторая изоморфна собственной подгруппе первой, то эти две группы изоморфны".
Кажется нет: берем первую группу $F_2$ - свободную с двумя образующими, вторую - $F_3$ - свободную с тремя образующими. Во второй есть собственная подгруппа, изоморфная первой (все слова в которых из трех образующих букв есть только первые две буквы, например), а в первой есть собственная подгруппа, изоморфная второй (в качестве трех образующих возьмем, например $a, b^{-1}ab, b^{-2}ab^{2}$), но $F_2$ не изоморфна $F_3$.

А если от морфизмов групп оставить только биекции и рассматривать их как множества? Не будет ли это контрпримером к теореме Кантора - Бернштейна для множеств?

[arseniiv]

ikozyrev в сообщении #1333100 писал(а):

а в первой есть собственная подгруппа, изоморфная второй (в качестве трех образующих возьмем, например $a, b^{-1}ab, b^{-2}ab^{2}$)

См. пункт 3 в https://en.wikipedia.org/wiki/Free_group#Facts_and_theorems. Ищите ошибку (то есть нетривиальную комбинацию этих элементов, дающую нейтральный). Я сразу тоже не вижу, но она должна быть.

[mihaild]

ikozyrev в сообщении #1333100 писал(а):

А если от морфизмов групп оставить только биекции и рассматривать их как множества? Не будет ли это контрпримером к теореме Кантора - Бернштейна для множеств?

Нет. Обе группы имеют одинаковую мощность. Можно придумать кучу примеров равномощных но не изоморфных групп.

arseniiv в сообщении #1333114 писал(а):

комбинацию этих элементов, дающую нейтральный

Вроде нет такой. И непонятно, как из пункта 3 следует, что должна быть.
В любом случае, там же чуть ниже написано, что неабелева свободная группа ранга 2 содержит подгруппу любого не более чем счетного ранга. Так что даже если бы эта комбинация не проходила, какая-то точно нашлась бы.

-- 17.08.2018, 16:22 --

Ну и можно даже абелевы группы, вкладывающиеся друг в друга, но не изоморфные, придумать. Например, $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 \times \ldots$ и $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_8 \times \ldots$

[ikozyrev]

mihaild в сообщении #1333120 писал(а):

Нет. Обе группы имеют одинаковую мощность. Можно придумать кучу примеров равномощных но не изоморфных групп.
Ну и можно даже абелевы группы, вкладывающиеся друг в друга, но не изоморфные, придумать. Например, $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 \times \ldots$ и $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_8 \times \ldots$

Ок, спасибо, это у меня что-то солнце видимо голову нагрело :)

[arseniiv]

А, я что-то тоже предположил лишнего.